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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 28

Nos problemas 23-28, use (6) para encontrar f ( t )

L^(- 1) {(1)/(( s^2 + 4 s + 5 ) ²)}

Passo 1

Cara, primeiramente, quem é (6)?

É isso aqui olha:

L^(- 1) (F (s) . G (s)) = f (t) * g (t) ( I )

Ou seja, a multiplicação no domínio s é a convolução no domínio t

Então, vamos separar o nosso H ( s ) dado em uma multiplicação F (s) . G ( s ) :

H (s) = (1)/(( s^2 + 4 s + 4 + 1 ) ²)

H (s) = (1)/(( ( s + 2 ) ² + 1 ) ²)

H (s) = (1)/(( s + 2 ) ² + 1) . (1)/(( s + 2 ) ² + 1)

Logo, F (s) = (1)/(( s + 2 ) ² + 1) e G (s) = (1)/(( s + 2 ) ² + 1)

Agora precisamos encontrar suas transformadas inversas f ( t ) e g ( t ) , pra aí usarmos ( I ) , ok?

Passo 2

Queremos encontrar:

L^(- 1) {F (s) . G (s)} = f (t) * g ( t )

L^(- 1) {(1)/(( s^2 + 4 s + 5 ) ²)} = f (t) * g (t) ( I I )

Onde:

f (t) = g (t) = L^(- 1) {(1)/(( s + 2 ) ² + 1)}

Usando o teorema 7.3 do seu livro e o teorema do atraso, temos:

f (t) = g (t) = e^(- 2 t) s e n ( t )

Agora é só aplicar em ( I I ) :D

Passo 3

Substituindo f ( t ) e g ( t ) em ( I I ) , temos:

L^(- 1) {(1)/(( s^2 + 4 s + 5 ) ²)} = e^(- 2 t) s e n ( t ) * e^(- 2 t) s e n ( t )

Pela fórmula de convolução:

L^(- 1) {(1)/(( s^2 + 4 s + 5 ) ²)} = int_0^t e^(- 2 t) s e n (t) . e^(- 2 (t - tau)) s e n ( t - tau ) d tau

Resolvendo a integral:

L^(- 1) {(1)/(( s^2 + 4 s + 5 ) ²)} = (e^(- 2 t) ( s e n (t) - t . cos (t) ))/(2)

E acabamosss

Resposta

L^(- 1) {(1)/(( s^2 + 4 s + 5 ) ²)} = (e^(- 2 t) ( s e n (t) - t . cos (t) ))/(2)

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