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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 24

Nos problemas 23-28, use (6) para encontrar f ( t )

L^(- 1) {(1)/(s (s ² + 1))}

Passo 1

Cara, primeiramente, quem é (6)?

É isso aqui olha:

L^(- 1) (F (s) . G (s)) = f (t) * g (t) ( I )

Ou seja, a multiplicação no domínio s é a convolução no domínio t

Então, vamos separar o nosso H ( s ) dado em uma multiplicação F (s) . G ( s ) :

H (s) = (1)/(s (s ² + 1))

H (s) = (1)/(s) . (1)/(s ² + 1)

Logo, F (s) = (1)/(s) e G (s) = (1)/(s ² + 1)

Agora precisamos encontrar suas transformadas inversas f ( t ) e g ( t ) , pra aí usarmos ( I ) , ok?

Passo 2

Queremos encontrar:

L^(- 1) {F (s) . G (s)} = f (t) * g ( t )

L^(- 1) {(1)/(s) . (1)/(s ² + 1)} = f (t) * g (t) ( I I )

Onde:

f (t) = L^(- 1) {(1)/(s)}

g (t) = L^(- 1) {(1)/(s ² + 1)}

Usando o teorema 7.3 do seu livro, temos:

f (t) = 1

g (t) = s e n ( t )

Agora é só aplicar em ( I I ) :D

Passo 3

Substituindo f ( t ) e g ( t ) em ( I I ) , temos:

L^(- 1) {(1)/(s) . (1)/(s ² + 1)} = 1 * s e n ( t )

Pela fórmula de convolução:

L^(- 1) {(1)/(s) . (1)/(s ² + 1)} = int_0^t 1 . s e n ( t - tau ) d tau

L^(- 1) {(1)/(s) . (1)/(s ² + 1)} = int_0^t s e n ( t - tau ) d tau

Resolvendo a integral:

L^(- 1) {(1)/(s) . (1)/(s ² + 1)} = [c o s ( t - tau )]_(tau = 0)^(tau = t)

L^(- 1) {(1)/(s) . (1)/(s ² + 1)} = cos (t - t) - cos (t - 0) = 1 - c o s ( t )

E acabamosss

Resposta

L^(- 1) {(1)/(s) . (1)/(s ² + 1)} = 1 - c o s ( t )

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