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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.Exercícios de Revisão - Ex. 31

Nos problemas 29-36, use a transformada de Laplace para resolver a equação dada

y ' ' - 4 y ' + 6 y = 30 u ( t - π ) ,     y 0 = 0 ,       y ' 0 = 0

Passo 1

Vamo que vamo

Temos essa equação diferencial:

y ' ' - 4 y ' + 6 y = 30 u ( t - π ) ,     y 0 = 0 ,       y ' 0 = 0

E para encontrar y ( t ) , vamos usar a transformada de Laplace ta bom, então o passo a passo é: fazer a transformada da equação inteira, isolar Y ( s ) e fazer a transformada inversa do que encontrarmos, fechou?

Ah, só pra lembrar, aqui tem algumas transformadas que podemos utilizar:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L δ ( t + k ) = e k s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora bora lá!

Passo 2

Vamos fazer a transformada da equação:

y ' ' - 4 y ' + 6 y = 30 u t - π

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 ) - 4 ( s . Y s - y ( 0 ) ) + 6 Y s = 30 s e - π s

Sabemos que y 0 = 0 e y ' 0 = 0 :

s 2 . Y s - s . 0 - 0 - 4 ( s . Y s - 0 ) + 6 Y s = 30 s e - π s

Y s . s 2 - 4 s + 6 = 30 e - π s s

Então:

Y s = 30 e - π s s s 2 - 4 s + 6

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, beleza?

Passo 3

Temos

Y s = 30 e - π s s s 2 - 4 s + 6

Que podemos escrever assim:

Y s = e - π s 30 s ( s - 2 ) ² + 2

Expandindo em frações parciais, temos:

Y s = e - π s 5 s - 5 . s - 2 s - 2 2 + 2 + 5 2 . 2 s - 2 2 + 2

Então podemos escrever:

y t = 5 u t - π - 5 e 2 t - π cos ⁡ 2 t - π u t - π + 5 2 e 2 t - π s e n 2 t - π u t - π

Showww, vamos pros próximos!!

Resposta

y t = 5 u t - π - 5 e 2 t - π cos ⁡ 2 t - π u t - π + 5 2 e 2 t - π s e n 2 t - π u t - π

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Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. f t = 2 t - 4 ∫ 0 t s e nτf t - τ d τ
Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. t - 2 f t = ∫ 0 t ( e τ - e - τ ) f ( t - τ )d τ
Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. y ' t = 1 - s e n t - ∫ 0 t y τ d τ , y 0 = 0
Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. f t + ∫ 0 t f ( τ )d τ = 1
Nos problemas 27 e 28, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições de contorno indicadas. y ' ' - 9 y ' + 20 y = 1 ,y 0 = 0 , y ' 1 = 0