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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 38

Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial.

d y d t + 6 y t + 9 ∫ 0 t y τ d τ = 1 ,     y 0 = 0

Passo 1

Bora lá?

Temos a equação:

d y d t + 6 y t + 9 ∫ 0 t y τ d τ = 1 ,     y 0 = 0

E vamos usar a Transformada de Laplace para encontrarmos y ( t ) , beleza?

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

E vamos lembrar também que a convolução ∫ 0 t f t - τ g t d τ no domínio do tempo é a multiplicação no domínio s , certo?

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

d y d t + 6 y t + 9 ∫ 0 t y τ d τ = 1 ,     y 0 = 0

Em ∫ 0 t y τ d τ temos a convolução de y ( t ) com 1 então podemos escrever como a multiplicação das suas transformadas

s . Y s - y 0 + 6 Y s + 9 Y s . 1 s = 1 s

Sabemos que y 0 = 0 :

s . Y s - 0 + 6 Y s + 9 Y s . 1 s = 1 s

Y s . 9 s + s + 6 = 1 s

Isolando Y ( s ) :

Y s = 1 s . 9 s + s + 6

Y s = 1 s 2 + 6 s + 9

Y s = 1 ( s + 3 ) ²

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = 1 ( s + 3 ) ²

Fazendo a transformada inversa, de acordo com as informações do passo 1, temos que isso é a transformada de t mas com translação de 3 amostras, então, usando a última propriedade lá do passo 1:

y t = e - 3 t . t

E fimmm

Resposta

y t = e - 3 t . t

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