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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 45

Use a transformada para determinar a corrente i ( t ) em um circuito em série L-R quando i 0 = 0 , L = 1   h e n r y , R = 10   o h m s e E ( t ) é a voltagem dada na figura 7.46

Passo 1

E aíí meu povo!!

Aqui temos que resolver essa equação:

L d i d t + R i = E ( t )

Encontrando i ( t ) para E t = s e n t + cos ⁡ t - 3 π 2 u t - 3 π 2 e i 0 = 0

Para fazer isso, vamos usar transformadas de Laplace beleza?

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

E vamos lembrar também que a convolução ∫ 0 t f t - τ g t d τ no domínio do tempo é a multiplicação no domínio s , certo?

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

d i d t + 10 i = s e n t + cos ⁡ t - 3 π 2 u t - 3 π 2

s . I s - 0 + 10 I s = 1 s 2 + 1 + s . e - 3 π s 2 s 2 + 1

I s . s + 10 = 1 s 2 + 1 + s . e - 3 π s 2 s 2 + 1

Isolando I ( s ) :

I s = 1 ( s 2 + 1 ) s + 10 + s . e - 3 π s 2 ( s 2 + 1 ) s + 10

Expandindo em frações parciais e fazendo a transformada inversa, temos

i t = 1 101 e - 10 t - cos ⁡ t + 10 . s e n t + 1 101 - 10 e - 10 t - 3 π 2 + 10 cos ⁡ t - 3 π 2 + s e n t - 3 π 2 u t - 3 π 2

E fimmmm

Resposta

i t = 1 101 e - 10 t - cos ⁡ t + 10 . s e n t + 1 101 - 10 e - 10 t - 3 π 2 + 10 cos ⁡ t - 3 π 2 + s e n t - 3 π 2 u t - 3 π 2

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