Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.6 - Ex. 2
Cada sistema de equações diferenciais é um modelo para duas espécies que cmpetem pelas mesmas fontes ou cooperam por mútuo benefício (plantas em floração e insetos polinizadores, por exemplo). Decida se cada sistema descreve competição ou cooperação e explique por que este é um modelo razoável. (Pergunte-se qual é o efeito que o aumento de uma das espécies tem na taxa de crescimento da outra.)
Passo 1
- Precisamos analisar as equações , e decidir se o sistema representa competição ou cooperação.
- Da mesma forma como no item (a), vamos analisar o sistema:
Bom, podemos generalizar um sistema assim do seguinte jeito:
Aí, sabemos que o sistema é
Cooperativo se (benefício para as duas espécies)
Competitivo se (quando a existência de uma prejudica a de outra, elas competem pelos mesmo recursos)
Predador-presa se
Mas por quê? Note que é um modelo populacional de quando não há interação com . A partir do momento que adicionamos o termo , a espécie passa a interferir na quantidade de elementos da espécie , contribuindo para seu crescimento quando , definindo uma interação com benefícios. O mesmo vale para a equação de Similarmente, quando uma espécie prejudica a existência da outra.
Passo 2
Agora que relembramos o que esses termos querem dizer, vamos olhar as equações do problema:
Aqui nós temos e
Então podemos concluir que a presença de uma espécie traz benefícios para a outra. Temos uma relação de cooperação.
Passo 3
Agora, veja que e
De acordo com a definição que estudamos, quando ambas variáveis são negativas quer dizer que a existência de uma espécie prejudica a outra, ou seja: temos um sistema de competição.
Resposta
- Cooperativo
- Competitivo