Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.5 - Ex. 33

Na seção 9.3 analisamos os problemas de misturas nos quais o volume de fluido permanecia constante e vimos que estes fornecem equações separáveis (veja o Exemplo 6 naquela seção). Se as taxas de entrada e de saída do sistema forem diferentes, então o volume não é constante e a equação diferencial resultante é linear, mas não separável.

Um tanque contém 100 L de água. Uma solução com uma concentração de sal de 0,4   k g / L é adicionada a uma taxa de 5 L / m i n . A solução é mantida misturada e é retirada do tanque a uma taxa de 3 L / m i n . Se y ( t ) for a quantidade de sal (em quilogramas) depois de t minutos, mostre que y satisfaz a equação diferencial

d y d t = 2 - 3 y 100 + 2 t

Resolva essa equação e calcule a concentração depois de 20 minutos.

Passo 1

Nessa questão, temos um tanque com 100 L de água, onde a água entra com uma taxa de 5 L / m i n com sal dissolvido a 0,4   k g / L . A água sai em uma velocidade de 3 L / m i n . Queremos mostrar que a equação que descreve esse problema é

d y d t = 2 - 3 y 100 + 2 t

Onde y representa a quantidade de sal e t p tempo levado.

A taxa de sal em relação ao tempo pode ser escrita como:

d y d t = t a x a   d e   e n t r a d a - t a x a   d e   s a í d a

t a x a   d e   e n t r a d a = 5 L / min ⁡ x   0,4 k g L  

t a x a   d e   e n t r a d a = 2   k g / m i n

Agora para calcular a taxa de saída precisamos prestar atenção que já tínhamos 100 L de água no tanque, e que uma quantidade estava entrando e outra saindo, assim ficamos com:

Á g u a = 100 + 5 - 3 t = 100 + 2 t

t a x a   d e   s a í d a = 3 L / min ⁡ x y   k g 100 + 2 t

t a x a   d e   s a í d a = 3 y 100 + 2 t   k g / m i n

d y d t = 2 - 3 y 100 + 2 t

Assim, concluímos que essa é a equação que descreve o problema.

Passo 2

Agora precisamos resolvê-la! Temos uma EDO linear, equações lineares de primeira ordem são todas aquelas que podem ser escritas como:

y ' + P t y = Q ( t )

Então vamos ajeitar a equação dada pela questão para que ela fique parecida com esse formato. Assim,

d y d t = 2 - 3 y 100 + 2 t

d y d t + 3 100 + 2 t y = 2

Nesse caso, P t = 3 100 + 2 t e Q t = 2 .

Passo 3

Para resolver a equação, precisamos primeiro encontrar um fator integrante:

I t = e ∫ 3 / 100 + 2 t d t

I ( t ) = e 3 1 2 ln ⁡ 100 + 2 t

I ( t ) = e ln ⁡ 100 + 2 t 3 / 2

I ( t ) = 100 + 2 t 3 2

Passo 4

Agora podemos calcular usando a fórmula do método do fator integrante:

I y = ∫ I Q t d t ,                                 Q t = 2

100 + 2 t 3 2 y = ∫ 2 100 + 2 t 3 2 d t

100 + 2 t 3 2 y = 2 2 5 1 2   100 + 2 t 5 2 + C  

Não podemos esquecer que toda integral indefenida tem uma constante C .

100 + 2 t 3 2 y = 2 5   100 + 2 t 5 2 + C  

y = 2 5   ( 100 + 2 t ) + C 100 + 2 t - 3 2

Passo 5

No início não havia sal na água, então podemos considera y 0 = 0 , então:

y ( 0 ) = 2 5   ( 100 + 0 ) + C 100 + 0 - 3 2

0 = 40 + C   x   10 - 3

C = - 40000

Então a equação que procurávamos é:

y = 2 5   100 + 2 t - 40000 100 + 2 t - 3 2

Passo 6

Nosso útimo passo será calcular a concentração de sal na água após decorrido um tempo de 20   m i n . A concentração pode ser calculada por y 20 V 20 ,   onde V ( 20 ) é o volume de água no tanque depois de 20 m i n . Então teremos:

y 20 = 2 5 100 + 2 x 20 - 40000 100 + 2 x 20 - 3 2

y 20 = 56 - 40000 ( 140 - 3 2 )

y 20 ≅ 31,8   k g

V 20 = 100 + 2 t = 100 + 2 20 = 140 L

Por fim, nossa concentração será:

y 20 V 20 = 31,8 140 ≅ 0,2275   k g / L

Resposta

y = 2 5   100 + 2 t - 40000 100 + 2 t - 3 2

Concentração: 0,2275   k g / L

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Moscas, sapos e crocodilos coexistem em um ambiente. Para sobreviver, os sapos precisam comer as moscas e os crocodilos precisam comer os sapos. Na ausência de sapos, a população de moscas crescerá ex
Determine se a equação diferencial é linear. y ' = 1 x + 1 y
Resolva a equação diferencial e use uma calculadora gráfica ou um computador para traçar vários membros da família de soluções. Como a curva solução muda quando C varia? x y ' = x 2 + 2 y
(a) Mostre que a substituição z = 1 P transforma a equação diferencial logística P ' = k P ( 1 - P M ) na equação diferencial linear z ' + k z = k M (b) Resolva a equação diferencial no item (a) para
7. Um material radioativo se desintegra a uma taxa de d m d t proporcional a m , onde m = m ( t ) é a quantidade de matéria no instante t . Supondo que a quantidade inicial (em t = 0 ) de matéria seja