Na seção 9.3 analisamos os problemas de misturas nos quais o volume de fluido permanecia constante e vimos que estes fornecem equações separáveis (veja o Exemplo 6 naquela seção). Se as taxas de entrada e de saída do sistema forem diferentes, então o volume não é constante e a equação diferencial resultante é linear, mas não separável.Um tanque contém 100 L de água. Uma solução com uma concentração de sal de 0,4k g / L é adicionada a uma taxa de 5 L / m i n . A solução é mantida misturada e é retirada do tanque a uma taxa de 3 L / m i n . Se y ( t ) for a quantidade de sal (em quilogramas) depois de t minutos, mostre que y satisfaz a equação diferencial d y d t = 2 - 3 y 100 + 2 t Resolva essa equação e calcule a concentração depois de 20 minutos.

y = 2 5100 + 2 t - 40000 100 + 2 t - 3 2 Concentração: 0,2275k g / L

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.5 - Ex. 33

Na seção 9.3 analisamos os problemas de misturas nos quais o volume de fluido permanecia constante e vimos que estes fornecem equações separáveis (veja o Exemplo 6 naquela seção). Se as taxas de entrada e de saída do sistema forem diferentes, então o volume não é constante e a equação diferencial resultante é linear, mas não separável.

Um tanque contém de água. Uma solução com uma concentração de sal de é adicionada a uma taxa de . A solução é mantida misturada e é retirada do tanque a uma taxa de . Se for a quantidade de sal (em quilogramas) depois de minutos, mostre que satisfaz a equação diferencial

Resolva essa equação e calcule a concentração depois de minutos.

Passo 1

Nessa questão, temos um tanque com de água, onde a água entra com uma taxa de com sal dissolvido a . A água sai em uma velocidade de . Queremos mostrar que a equação que descreve esse problema é

Onde representa a quantidade de sal e p tempo levado.

A taxa de sal em relação ao tempo pode ser escrita como:

Agora para calcular a taxa de saída precisamos prestar atenção que já tínhamos de água no tanque, e que uma quantidade estava entrando e outra saindo, assim ficamos com:

Assim, concluímos que essa é a equação que descreve o problema.

Passo 2

Agora precisamos resolvê-la! Temos uma EDO linear, equações lineares de primeira ordem são todas aquelas que podem ser escritas como:

Então vamos ajeitar a equação dada pela questão para que ela fique parecida com esse formato. Assim,

Nesse caso, e .

Passo 3

Para resolver a equação, precisamos primeiro encontrar um fator integrante:

Passo 4

Agora podemos calcular usando a fórmula do método do fator integrante:

Não podemos esquecer que toda integral indefenida tem uma constante .

Passo 5

No início não havia sal na água, então podemos considera , então:

Então a equação que procurávamos é:

Passo 6

Nosso útimo passo será calcular a concentração de sal na água após decorrido um tempo de . A concentração pode ser calculada por onde é o volume de água no tanque depois de . Então teremos:

Por fim, nossa concentração será:

Resposta

Concentração:

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