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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.Exercícios Práticos - Ex. 10

Resolva a equação diferencial

(y^')/(2) + y = e^(- x) sen x

Passo 1

A EDO que precisamos resolver é linear e de primeira ordem. É possível escrevê-la da seguinte forma:

y^' + p (x) y = q ( x )

Equações diferenciais que conseguem ser escritas desta forma, para resolvê-las, precisamos calcular um fator integrante v e multiplicar ambos os membros. Este fator integrante é dado por:

v = e^(int p (x) d x)

Após fazer a multiplicação, conseguiremos escrever a EDO da seguinte forma:

(d)/(d x) (v y) = v * q ( x )

E ai, é só integrar ambos os membros. Fácil né!

Passo 2

Começaremos por reescrever a nossa EDO na forma y^' + p (x) y = q (x) . Portanto, temos:

(y^')/(2) + y = e^(- x) sen x

y^' + 2 * y = 2 e^(- x) sen x

Portanto a função p (x) = 2 . Já sabemos a função relativa ao nosso fator integrante.

Passo 3

Agora, calcularemos o fator integrante! Ele é dado por:

v = e^(int p (x) d x)

v = e^(e^(int 2 d x)) = e^(2 x)

Agora sim. Já obtemos nosso fator integrante. Observem que não é necessário obter a família de primitivas que resolvem a integral. Basta pegar uma solução particular só.

Passo 4

Vamos multiplicar a EDO pelo fator integrante. Portanto, temos:

v * (y^' + 2 * y) = v * 2 e^(- x) sen x

e^(2 x) * ((d y)/(d x) + 2 * y) = e^(2 x) * 2 e^(- x) sen x

(d)/(d x) [e^(2 x) * y] = 2 e^x sen x

Agora, basta integrarmos ambos os lados. Desta forma, obteremos:

e^(2 x) y = int 2 e^x sen x d x

y = (2)/(e^(2 x)) * int e^x sen x d x

Chegamos a uma integral que não possui solução. Para resolvermos, utilizaremos a técnica de integração por partes.

Passo 5

Vamos integrar int e^x sen x d x por partes. Para isto, seja u = e^x e d v = sen x . Consequentemente, d u = e^x d x e v = - cos x . Para resolvermos uma integral por partes, temos que substituir os valores de u e v na seguinte relação:

int u d v = u v - int v d u

Portanto, temos:

int e^x sen x d x = - e^x cos x - int - cos x e^x d x

int e^x sen x d x = - e^x cos x + int cos x e^x d x

Fazendo novamente u = e^x e d v = cos x , teremos d u = e^x d x e v = sen x . Integrando novamente por partes, temos:

int e^x sen x d x = - e^x cos x + (e^x sen x - int e^x sen x d x) + k

int e^x sen x d x = - e^x cos x + e^x sen x - int e^x sen x d x + k

2 int e^x sen x d x = - e^x cos x + e^x sen x + k

int e^x sen x d x = (- e^x cos x + e^x sen x)/(2) + k = (e^x ( sen x - cos x ))/(2) + k

Observem que a constante de integração k poderia aparecer somente no final. É importante lembrarmos dela pois queremos todas as soluções da EDO, e não somente um caso particular. Substituindo a soluç��o desta integral na solução da EDO, temos que:

y = (2)/(e^(2 x)) * ((e^x (sen x - cos x))/(2) + k)

y = e^(- x) (sen x - cos x) + k e^(- 2 x)

Resposta

y = e^(- x) (sen x - cos x) + k e^(- 2 x)

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