Resolva a equação diferencial

(y')^2 / 2 + y = e^(-x) \* sen(x)

Passo 1

A EDO que precisamos resolver é linear e de primeira ordem. É possível escrevê-la da seguinte forma:

y ' + p x y = q ( x )

Equações diferenciais que conseguem ser escritas desta forma, para resolvê-las, precisamos calcular um fator integrante v e multiplicar ambos os membros. Este fator integrante é dado por:

v = e ∫ p x d x

Após fazer a multiplicação, conseguiremos escrever a EDO da seguinte forma:

d d x v y = v ⋅ q ( x )

E ai, é só integrar ambos os membros. Fácil né!

Passo 2

Começaremos por reescrever a nossa EDO na forma y ' + p x y = q x . Portanto, temos:

y ' 2 + y = e - x sen ⁡ x

y ' + 2 ⋅ y = 2 e - x sen ⁡ x

Portanto a função p x = 2 . Já sabemos a função relativa ao nosso fator integrante.

Passo 3

Agora, calcularemos o fator integrante! Ele é dado por:

v = e ∫ p x d x

v = e e ∫ 2 d x = e 2 x

Agora sim. Já obtemos nosso fator integrante. Observem que não é necessário obter a família de primitivas que resolvem a integral. Basta pegar uma solução particular só.

Passo 4

Vamos multiplicar a EDO pelo fator integrante. Portanto, temos:

v ⋅ y ' + 2 ⋅ y = v ⋅ 2 e - x sen ⁡ x

e 2 x ⋅ d y d x + 2 ⋅ y = e 2 x ⋅ 2 e - x sen ⁡ x

d d x e 2 x ⋅ y = 2 e x sen ⁡ x

Agora, basta integrarmos ambos os lados. Desta forma, obteremos:

e 2 x y = ∫ 2 e x sen ⁡ x d x

y = 2 e 2 x ⋅ ∫ e x sen ⁡ x d x

Chegamos a uma integral que não possui solução. Para resolvermos, utilizaremos a técnica de integração por partes.

Passo 5

Vamos integrar ∫ e x sen ⁡ x d x por partes. Para isto, seja u = e x e d v = sen ⁡ x . Consequentemente, d u = e x d x e v = - cos ⁡ x . Para resolvermos uma integral por partes, temos que substituir os valores de u e v na seguinte relação:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Portanto, temos:

∫ e x sen ⁡ x d x = - e x cos ⁡ x - ∫ - cos ⁡ x e x   d x

∫ e x sen ⁡ x d x = - e x cos ⁡ x + ∫ cos ⁡ x e x   d x

Fazendo novamente u = e x e d v = cos ⁡ x , teremos d u = e x d x e v = sen ⁡ x . Integrando novamente por partes, temos:

∫ e x sen ⁡ x d x = - e x cos ⁡ x + e x sen ⁡ x - ∫ e x sen ⁡ x   d x + k

∫ e x sen ⁡ x d x = - e x cos ⁡ x + e x sen ⁡ x - ∫ e x sen ⁡ x   d x + k

2 ∫ e x sen ⁡ x d x = - e x cos ⁡ x + e x sen ⁡ x + k

∫ e x sen ⁡ x d x = - e x cos ⁡ x + e x sen ⁡ x 2 + k = e x ( sen ⁡ x - cos ⁡ x ) 2 + k

Observem que a constante de integração k poderia aparecer somente no final. É importante lembrarmos dela pois queremos todas as soluções da EDO, e não somente um caso particular. Substituindo a soluç��o desta integral na solução da EDO, temos que:

y = 2 e 2 x ⋅ e x sen ⁡ x - cos ⁡ x 2 + k

y = e - x sen ⁡ x - cos ⁡ x + k e - 2 x

Resposta

y = e - x sen ⁡ x - cos ⁡ x + k e - 2 x

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