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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.Exercícios Práticos - Ex. 9

Resolva a equação diferencial

2 y^' - y = x e^(x // 2)

Passo 1

A EDO que precisamos resolver é linear e de primeira ordem. É possível escrevê-la da seguinte forma:

y^' + p (x) y = q ( x )

Equações diferenciais que conseguem ser escritas desta forma, para resolvê-las, precisamos calcular um fator integrante v e multiplicar ambos os membros. Este fator integrante é dado por:

v = e^(int p (x) d x)

Após fazer a multiplicação, conseguiremos escrever a EDO da seguinte forma:

(d)/(d x) (v y) = v * q ( x )

E ai, é só integrar ambos os membros. Fácil né!

Passo 2

Começaremos por reescrever a nossa EDO na forma y^' + p (x) y = q (x) . Portanto, temos:

2 y^' - y = x e^(x // 2)

y^' - (1)/(2) * y = (x e^((x)/(2)))/(2)

Portanto a função p (x) = - 1 // 2 . Já sabemos a função relativa ao nosso fator integrante.

Passo 3

Agora, calcularemos o fator integrante! Ele é dado por:

v = e^(int p (x) d x)

v = e^(e^(int - (1)/(2) d x)) = e^(- x // 2)

Agora sim. Já obtemos nosso fator integrante. Observem que não é necessário obter a família de primitivas que resolvem a integral. Basta pegar uma solução particular só.

Passo 4

Vamos multiplicar a EDO pelo fator integrante. Portanto, temos:

v * (y^' - (1)/(2) * y) = v * (x e^((x)/(2)))/(2)

e^(- (x)/(2)) * ((d y)/(d x) - (1)/(2) * y) = e^(- (x)/(2)) * (x e^((x)/(2)))/(2)

(d)/(d x) [e^(- (x)/(2)) * y] = (x)/(2)

Agora, basta integrarmos ambos os lados. Desta forma, obteremos:

e^(- (x)/(2)) y = int (x)/(2) d x

y = (1)/(e^(- (x)/(2))) * ((x^2)/(4) + k)

Logo,

y = e^(x // 2) * ((x^2)/(4) + k)

Resposta

y = e^(x // 2) * ((x^2)/(4) + k)

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