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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.Exercícios Práticos - Ex. 13

Resolva a equação diferencial

(1 + e^x) d y + (y e^x + e^(- x)) d x = 0

Passo 1

A EDO que precisamos resolver é linear e de primeira ordem. É possível escrevê-la da seguinte forma:

y^' + p (x) y = q ( x )

Equações diferenciais que conseguem ser escritas desta forma, para resolvê-las, precisamos calcular um fator integrante v e multiplicar ambos os membros. Este fator integrante é dado por:

v = e^(int p (x) d x)

Após fazer a multiplicação, conseguiremos escrever a EDO da seguinte forma:

(d)/(d x) (v y) = v * q ( x )

E ai, é só integrar ambos os membros. Fácil né!

Passo 2

Começaremos por reescrever a nossa EDO na forma y^' + p (x) y = q (x) . Portanto, temos:

(1 + e^x) d y + (y e^x + e^(- x)) d x = 0

(1 + e^x) (d y)/(d x) + e^x y = - e^(- x)

(d y)/(d x) + (e^x)/((1 + e^x)) y = - (e^(- x))/((1 + e^x))

Portanto a função p (x) = (e^x)/((1 + e^x)) . Já sabemos a função relativa ao nosso fator integrante.

Passo 3

Agora, calcularemos o fator integrante! Ele é dado por:

v = e^(int (e^x)/((1 + e^x)) d x)

Precisamos resolver a seguinte integral.

int (e^x)/((1 + e^x)) d x

Para isto, vamos fazer a seguinte substituição: u = 1 + e^x . Consequentemente, d u = e^x d x . Desta forma, temos:

int (e^x)/((1 + e^x)) d x = int (1)/(u) d u = ln |u|

Voltando para a variável inicial,

ln |u| = ln (1 + e^x)

Portanto o nosso fator integrante é dado por:

v = e^(ln (1 + e^x)) = 1 + e^x

Agora sim. Já obtemos nosso fator integrante. Observem que não é necessário obter a família de primitivas que resolvem a integral. Basta pegar uma solução particular só.

Passo 4

Vamos multiplicar a EDO pelo fator integrante. Portanto, temos:

v * (y^' + (e^x)/((1 + e^x)) * y) = v * - (e^(- x))/((1 + e^x))

(1 + e^x) * ((d y)/(d x) + (e^x)/((1 + e^x)) * y) = (1 + e^x) * - (e^(- x))/((1 + e^x))

(d)/(d x) [(1 + e^x) * y] = - e^(- x)

Agora, basta integrarmos ambos os lados. Desta forma, obteremos:

(1 + e^x) * y = - 1 * int e^(- x) d x

y = (1)/(1 + e^x) * - 1 * (- e^(- x) + k)

Logo,

y = (e^(- x) + k)/(1 + e^x)

Resposta

y = (e^(- x) + k)/(1 + e^x)

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