Nos problemas 7-10, especifique as singularidades regulares e irregulares da equação diferencial dada.

(x^3 - 10x^2 + 25x) * y'' + y = 0

Passo 1

Olá, tudo bem?

Bom, vamos começar escrevendo a EDO da forma “certinha”:

y ' ' + y x 3 - 10 x 2 + 25 x = 0

Fatorando...

y ' ' + y x x - 5 2   = 0

Aqui temos:

P x = 0     e     Q x = 1 x x - 5 2

Então temos os pontos x = 0 e x = 5 como singulares na equação.

Vamos classificar agora como regular ou irregular.

Passo 2

Analisando primeiro o caso x = 0 . Para ser regular, é necessário que existam os limites:

lim x → 0 ⁡ x   p x

lim x → 0 ⁡ x 2 q   ( x )

Temos:

lim x → 0 ⁡ x   p x =   0

lim x → 0 ⁡ x 2 1 x x - 5 2 =   0  

Os limites existem, então esse é um ponto regular!

Passo 3

Agora vamos ver o ponto x = 5 :

lim x → 5 ⁡ x - 5 ( 0 ) = 0

lim x → 5 ⁡ x - 5 2 1 x x - 5 2 = 1 5

E os limites existem, então dois pontos são regulares 😉

Resposta

Singularidade regular em x = 0 e em x = 5 .

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