Nos problemas 7-20, encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral.

L = { t^2 * t * e^t }

Passo 1

E aíí colega, bora pra mais uma??

Queremos calcular essa transformada:

L { t 2 * t . e t }

Lembrando que * é símbolo de convolução ok?

Bem, vamos lembrar do teorema 7.9 do seu livro: ele diz que a transformada da convolução entre duas funções vai ser o produto das transformadas de cada uma, sendo assim:

L { t 2 * t . e t } = L t ² . L t . e t

Agora é só calcular essas transformadas e multiplicar, sacou?

Passo 2

Temos:

L { t 2 * t . e t } = L t ² . L t . e t

Usando o teorema 7.2 do seu livro, temos:

L t ² = 2 ! s 2 + 1 = 2 s ³

E para calcularmos L t . e t vamos usar o teorema 7.5:

L t = 1 s 2 → L t . e t = 1 s - 1 2   ( a t r a s a m o s   u m a   a m o s t r a )

Portanto:

L { t 2 * t . e t } = L t ² . L t . e t

L t 2 * t . e t = 2 s 3 . 1 s - 1 2

Então, nossa transformada é:

L t 2 * t . e t = 2 s 3 . ( s - 1 ) ²

Resposta

L t 2 * t . e t = 2 s 3 . ( s - 1 ) ²

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