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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 16

Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma integral de convolução:

y ' ' + y ' + 5 4 y = 1 - u π ( t ) ;

y 0 = 1   e   y ' 0 = - 1

Passo 1

O exercício nos pede para encontrar a função y ( t ) . Vamos começar aplicando a transformada de Laplace nos dois lados da equação:

y ' ' + y ' + 5 4 y = 1 - u π ( t )

L y ' ' + y ' + 5 4 y = L 1 - u π ( t )

L y ' ' + L y ' + 5 4 L y = L 1 - L u π t

Vamos chamar L y t = Y ( s ) . Então:

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + s Y s - y 0 + 5 4 Y s = 1 s - e - π s s

s 2 + s + 5 4 Y s - s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) - y ( 0 ) = 1 s - e - π s s

s 2 + s + 5 4 Y s - s + 1 - 1 = 1 s - e - π s s

s 2 + s + 5 4 Y s = 1 s - e - π s s + s

Y s = 1 s x 1 s 2 + s + 5 4 - e - π s s x 1 s 2 + s + 5 4 + s s 2 + s + 5 4

Passo 2

Vamos agora chamar

F s = 1 s

G s = 1 s 2 + s + 5 4

G s = 1 s 2 + s + 1 4 + 1

G s = 1 s + 1 2 2 + 1

H s = - e - π s s

J s = s s + 1 2 2 + 1

J s = s + 1 2 - 1 2 s + 1 2 2 + 1

J s = s + 1 2 s + 1 2 2 + 1 - 1 2 x 1 s + 1 2 2 + 1

J s = s + 1 2 s + 1 2 2 + 1 - 1 2 G ( s )

K s = s + 1 2 s + 1 2 2 + 1

Antes de continuar vamos relembrar o teorema de convolução. Ele diz que: se F s = L f t e G s = L g t existem e Y s = L y t = F s x G ( s ) , a função y ( t ) pode ser descrita como:

y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ

Para o nosso exemplo:

Y s = F s G s + H s G s + K s - 1 2 G ( s )

y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ + ∫ 0 t h t - τ g τ d τ + L - 1 K s - 1 2 g ( t )

O que vamos fazer então é aplicar a transformada inversa nas funções F ( s ) , G ( s ) , H ( s ) e K ( s ) para encontrar f ( t ) , g ( t ) , h ( t ) e k ( t ) .

De acordo com a tabela 6.2.1:

F s = 1 s → f t = 1

G s = b s - a 2 + b 2 → g t = e a t sen ⁡ b t

H s = a e - c s s → h t = a u c ( t )

K s = s - a s - a 2 + b 2 → k t = e a t cos ⁡ b t

Passo 3

Para o nosso exercício:

F s = 1 s → f t = 1

G s = 1 s + 1 2 2 + 1 → g t = e - 1 2 t sen ⁡ t

H s = - e - π s s → h t = - u π ( t )

K s = s + 1 2 s + 1 2 2 + 1 → k t = e - 1 2 t cos ⁡ t

Aplicando o teorema sobre a convolução:

y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ + ∫ 0 t h t - τ g τ d τ + L - 1 K s - 1 2 g ( t )

y t = ∫ 0 t 1 x e - 1 2 τ sen ⁡ τ d τ + ∫ 0 t - u π ( t - τ ) e - 1 2 τ sen ⁡ τ d τ + e - 1 2 t cos ⁡ t - 1 2 e - 1 2 t sen ⁡ t

Resposta

A função dada é

y t = ∫ 0 t 1 x e - 1 2 τ sen ⁡ τ d τ + ∫ 0 t - u π ( t - τ ) e - 1 2 τ sen ⁡ τ d τ + e - 1 2 t cos ⁡ t - 1 2 e - 1 2 t sen ⁡ t .

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