Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 24
(a) Resolva a equação de Volterra dada usando a transformada de Laplace.
(b) Converta a equação integral a um problema de valor inicial.
(c) Resolva o problema de valor inicial no item (b) e verifique se a solução é a mesma que a encontrada no item (a).
Passo 1
Vamos começar chamando e . Nosso próximo passo é relembrar o teorema sobre a convolução. Ele diz que: se e existem e
Então:
Tudo bem???
Então, nossa equação se reduz à:
Se aplicarmos a transformada de Laplace ficamos com:
Como já vimos pelo teorema sobre a convolução:
Igualando as duas equações:
Se aplicarmos a transformada inversa:
De acordo com a tabela 6.2.1 do livro:
Passo 2
Agora que encontramos a função o exercício nos pede para diferenciar duas vezes. Então:
E
Podemos escrever a equação diferencial:
Com as condições de valor inicial:
Passo 3
Para resolver o problema de valor inicial vamos começar aplicando a transformada de Laplace:
Vamos chamar . Ficamos então com:
Aplicando a transformada inversa:
Pela tabela 6.2.1 do livro, para:
Portanto:
Que é a mesma solução obtida no item (a).
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)