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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 19

Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma integral de convolução:

y 4 - y = g ( t ) ;

y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0 ,   y ' ' 0 = 0   e   y ' ' ' 0 = 0

Passo 1

O exercício nos pede para encontrar a função y ( t ) . Vamos começar aplicando a transformada de Laplace nos dois lados da equação:

y 4 - y = g ( t )

L y 4 - y = L g ( t )

L y ( 4 ) - L y = L g ( t )

Vamos chamar L y t = Y ( s ) . Então:

s 4 Y s - s 3 y 0 - s 2 y ' 0 - s y ' ' 0 - y ' ' ' 0 - Y s = G ( s )

s 4 - 1 Y s - s 3 y 0 - s 2 y ' 0 - s y ' ' 0 - y ' ' ' 0 = G ( s )

s 4 - 1 Y s = G ( s )

Y s = G s s 4 - 1

Y s = G s s 2 - 1 s 2 + 1

Y s = G s s 2 + 1 x 1 s - 1 s + 1

Passo 2

O teorema sobre a convolução diz que: se F s = L f t e G s = L g t existem e Y s = L y t = F s x G ( s ) , a função y ( t ) pode ser descrita como:

y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ

Vamos começar chamando:

F s = 1 s 4 - 1

Então:

Y s = F s G ( s )

Antes de resolver vamos dividir a função F ( s ) em H ( s ) e J ( s ) :

F s = 1 s 4 - 1

F s = 1 s 2 + 1 x 1 s 2 - 1

F s = H s J ( s )

H s = 1 s 2 + 1   e   J s = 1 s 2 - 1

Podemos simplificar a função J ( s ) em outras duas funções K ( s ) e L ( s ) :

J s = 1 s 2 - 1

J s = 1 s - 1 x 1 s + 1

J s = K s L ( s )

K s = 1 s - 1   e   L s = 1 s + 1

Vamos aplicar a transformada inversa em H ( s ) , K ( s ) e L ( s ) para encontrar as funções h ( t ) , k ( t ) e l ( t ) . Pela tabela 6.2.1 do livro:

H s = a s 2 + a 2 → h t = sen ⁡ a t

K s = 1 s - a → k t = e a t

L s = 1 s - a → l t = e a t

Passo 3

Para os dados do nosso exercício:

H s = 1 s 2 + 1 → h t = sen ⁡ t

K s = 1 s - 1 → k t = e t

L s = 1 s + 1 → l t = e - t

Vamos agora aplicar o teorema sobre a convolução para encontrar j ( t ) :

j t = ∫ 0 t k t - τ l τ d τ

j t = ∫ 0 t e t - τ e - τ d τ

j t = e t ∫ 0 t e - 2 τ d τ

j t = e t e - 2 τ - 2 0 t = e t - 2 ( e - 2 t - 1 )

j t = e t 2 - e - t 2

Nosso próximo passo é aplicar o teorema sobre a convolução para encontrar f ( t ) :

f t = ∫ 0 t h t - τ j τ d τ

f ( t ) = ∫ 0 t sen ⁡ t - τ e τ 2 - e - τ 2 d τ

Nosso último passo é aplicar mais uma vez o teorema sobre a convolução para obter y ( t ) :

y t = ∫ 0 t g t - τ f τ d τ

y t = ∫ 0 t g t - τ ∫ 0 t sen ⁡ t - τ e τ 2 - e - τ 2 d τ d τ

Resposta

A equação dada é: y t = ∫ 0 t g t - τ ∫ 0 t sen ⁡ t - τ e τ 2 - e - τ 2 d τ d τ

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