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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 23

(a) Resolva a equação de Volterra dada usando a transformada de Laplace.

t + ∫ 0 t ( t - ξ ) ξ d ξ = 1

(b) Converta a equação integral a um problema de valor inicial.

(c) Resolva o problema de valor inicial no item (b) e verifique se a solução é a mesma que a encontrada no item (a).

Passo 1

Vamos começar chamando k t = t e f t = 1 . Nosso próximo passo é relembrar o teorema sobre a convolução. Ele diz que: se L k ( t ) e L ( t ) existem e

L y ( t ) = L k ( t ) x L ( t )

Então:

y t = ∫ 0 t k t - ξ ξ d ξ

Tudo bem???

Então, nossa equação se reduz à:

t + y t = f ( t )

y t = f t - t

Se aplicarmos a transformada de Laplace ficamos com:

L y ( t ) = L f t - t

L y ( t ) = L f t - L t

Como já vimos pelo teorema sobre a convolução:

L y ( t ) = L k ( t ) x L ( t )

Igualando as duas equações:

L k ( t ) x L ( t ) = L f t - L t

L t x L k t + 1 = L f t

L t = L f t L k t + 1

Se aplicarmos a transformada inversa:

L - 1 L t = L - 1 L f t L k t + 1

t = L - 1 L f t L k t + 1

t = L - 1 L 1 L t + 1

t = L - 1 1 s 1 s 2 + 1

t = L - 1 1 s 1 + s 2 s 2

t = L - 1 s s 2 + 1

De acordo com a tabela 6.2.1 do livro:

G s = s s 2 + 1 → g t = cos ⁡ t

t = cos ⁡ t

Passo 2

Agora que encontramos a função t o exercício nos pede para diferenciar duas vezes. Então:

' t = d d t cos ⁡ t

' t = - sen ⁡ t

E

' ' t = d d t ' t = d d t - sen ⁡ t

' ' t = - cos ⁡ t

Podemos escrever a equação diferencial:

' ' t + t = cos ⁡ t - cos ⁡ t = 0

Com as condições de valor inicial:

0 = cos ⁡ 0 = 1

' 0 = - sen ⁡ 0 = 0

Passo 3

Para resolver o problema de valor inicial vamos começar aplicando a transformada de Laplace:

' ' t + t = 0

L ' ' t + L t = 0

Vamos chamar L t = Y ( s ) . Ficamos então com:

s 2 Y s - s 0 - ' 0 + Y s = 0

s 2 + 1 Y s - s = 0

s 2 + 1 Y s = s

Y s = s s 2 + 1

Aplicando a transformada inversa:

L - 1 Y s = L - 1 s s 2 + 1

Pela tabela 6.2.1 do livro, para:

F s = s s 2 + 1 → f t = cos ⁡ t

Portanto:

t = cos ⁡ t

Que é a mesma solução obtida no item (a).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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