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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 9

Nos problemas 7-20, encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral.

9. L ∫ 0 t e - τ cos ⁡ τ d τ

Passo 1

Então galera, para resolvermos esses exercícios devemos levar em consideração o seguinte Teorema, saca só:

L f t = 1 1 - e - s T ∫ 0 T e - s t f t d t

E assim como fizemos nas outras seções, devemos levar em consideração as transformações básicas, que são:

a )   L 1 = 1 s

b )   L t n = n ! s n + 1

c )   L e a t = 1 s - a

d ) L s e n   k t = k s 2 + k 2

e )   L cos ⁡ k t = s s 2 + k 2

f )   L s e n h   k t = k s 2 - k 2

g )   L cosh ⁡ k t = s s 2 - k 2

Então mãos à obra!

Passo 2

Nossa transformação é a seguinte, galera:

L ∫ 0 t e - τ cos ⁡ τ d τ

Podemos reescreve-la da seguinte forma:

L 1 . ∫ 0 t e - τ cos ⁡ τ d τ

Então se aplicarmos o teorema do passo 1, teremos:

L ∫ 0 t e - τ cos ⁡ τ d τ = 1 s L e - t cos ⁡ t

Que nos dá como resultado:

L ∫ 0 t e - τ cos ⁡ τ d τ = 1 s . s + 1 s + 1 2 + 1 = s + 1 s s 2 + 2 s + 2

E esse é nosso resultado, pessoal! 😊

Resposta

L ∫ 0 t e - τ cos ⁡ τ d τ = 1 s . s + 1 s + 1 2 + 1 = s + 1 s s 2 + 2 s + 2

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