Por inspeção, determine uma solução para a equação diferencial não-linear y ' = y ³ que satisfaça y 0 = 0 . A solução é única?

Passo 1

Vamos lá? Queremos encontrar uma solução para a EDO d y d x = y ³ que satisfaça y 0 = 0

Como ele fala que y 0 = 0 , é justo tentarmos a solução y = 0 , vamos verificar se bate:

0 ' = 0 ³

0 = 0

Arrasamos, a igualdade é verdadeira, então y = 0 é uma solução da EDO o/

Passo 2

Para verificarmos se a solução é única, vamos usar o teorema 2.1 do seu livro para verificarmos em quais regiões do plano a EDO tem solução única

Pelo teorema 2.1, vamos chamar:

f x , y = y ³

E então:

∂ f ∂ y = 3 y ²

Que é contínua, está definida para todos os valores de y

Então, a EDO d y d x = y ³ tem solução única em qualquer ponto do plano x y , inclusive quando y = 0 , que foi a solução que encontramos

Logo, y = 0 é solução única.

Resposta

y = 0

É   s o l u ç ã o   ú n i c a

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