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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.8 - Ex. 2

Em cada um dos problemas de 1 a 4:

  1. Encontre os valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t = 0,1 ; 0,2 ; 0,3   e   0,4 usando o método de Euler com h = 0,1 .
  2. Repita o item (a) com h = 0,05 . Compare os resultados com os encontrados no item (a)
  3. Repita o item (a) com h = 0,025 . Compare os resultados com os encontrados no item (a)
  4. Encontre a solução y = ϕ ( t ) do problema dado e calcule ϕ ( t ) em t = 0,1 ; 0,2 ; 0,3   e   0,4 . Compare esses valores com os resultados de (a), (b), (c).

y ' = 2 ⋅ y - 1 , y 0 = 1 .

Passo 1

Para resolvermos esse problema, vamos usar o método de Euler, que consiste em um calculo numérico para as equações em que não temos um valor exato, onde o resultado se aproxima cada vez mais do exato de acordo com o passo usado para o calculo.

Passo 2

  1. Utilizando o método de Euler, temos que a equação usada é dada por

    2. y n + 1 = y n + f n ⋅ h

    y n + 1 = y n + 2 ⋅ y n - 1 ⋅ h = 1 + 2 ⋅ h ⋅ y n - h

    Começando com n = 0 , teremos que

    y 1 = 1 - 2 ⋅ 0,1 ⋅ 1 - 0,1 = 1,1

    Repetindo o mesmo processo até n = 3 , teremos os seguintes resultados

    y 2 = 1,22

    y 3 = 1,364

    y 4 = 1,5368

    Passo 3

  2. Para h = 0,05 , temos que

    3. y 1 = 1,05

    y 2 = 1,105

    y 3 = 1,1655

    y 4 = 1,2321

    Passo 4

  3. Para h = 0,025 , temos que

    4. y 1 = 1,025

    y 2 = 1,0512

    y 3 = 1,0788

    y 4 = 1,1077

    Percebemos que os resultados no item c) e b), em comparação com no item a), são muito mais precisos pelo fato de nosso h ser cada vez menor.

    Passo 5

  4. Temos que nossa EDO é separável, ficando da forma

1 2 ⋅ y - 1 ⋅ y ' = 1

Se integrarmos de ambos os lados vamos chegar que

y = e 2 ⋅ t + C 2

Aplicando a condição de contorno, temos que

y 0 = 1 = 1 + C 2 → C = 1

Substituindo na relação encontrada, temos que

y = e 2 ⋅ t + 1 2

Assim, calculando nossos valores para t , temos que

y 1 = 1,1107

y 2 = 1,2459

y 3 = 1,4111

y 4 = 1,6128

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos problemas 9-16, determine, por inspeção, pelo menos uma solução para a equação diferencial dada. 2 y d y d x = 1
Nos problemas 5-8, verifique que a função indicada é uma solução para a equação diferencial dada. y ( 4 ) - 16 y = 0 ; y = s e n 2 x + cosh ⁡ ( 2 x )
Determine um intervalo, no qual y 2 - 2 y = x 2 - x - 1 define uma solução para 2 y - 1 d y + 1 - 2 x d x = 0 .
Explique por que a equação diferencial d y d x 2 = 4 - y ² 4 - x ² ² ²não possui solução real em x2 ,y2 . Há outras regiões do plano x y em que a equação não possui solução?
Nos problemas 5-8, verifique que a função indicada é uma solução para a equação diferencial dada. y ' ' ' - 2 y ' ' - y ' + 2 y = 6 ;y = c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + 3