Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 12
Um projétil atirado de uma arma tem peso e velocidade tangente à trajetória de seu movimento. Desprezando a resistência do ar e todas as outras forças exceto seu peso, encontre o sistema de equações diferenciais que descreve o movimento. Veja a figura 1.20. [Sugestão: Use a segunda lei de Newton na direção x e y.]
Passo 1
O movimento do projétil pode ser representado assim:
Onde é a velocidade do projétil (tangente à sua trajetória) e é o peso dele.
Queremos encontra um sistema de equações diferenciais que descreve o movimento, ou seja: equações diferenciais em e .
Para isso, vamos usar o conselho do enunciado: usar a segunda lei de Newton na direção e na direção .
Passo 2
A segunda lei de Newton nos diz que a força é o produto da massa com a aceleração, ou seja:
Aplicando isso no eixo :
Galera, mas sabemos que a aceleração é a segunda derivada da posição não é? Então, podemos escrever assim:
Como não temos força peso na direção :
Passo 3
Agora vamos aplicar a segunda lei de Newton na direção :
Lembrando que a aceleração é a segunda derivada da posição:
A força peso na direção aponta pra baixo e tem valor ., então:
Então, as duas equações diferenciais que formam um sistema para a posição do projétil são: