11. O comprador de uma casa deseja um financiamento de R$ 250.000,00 a uma taxa de 6% aoano. Suponha que os juros são capitalizados continuamente e que os pagamentos também sãofeitos continuamente.(a) Determine a quantia máxima que esse comprador pode financiar em um prazo de 20 anos eem um prazo de 30 anos.(b) Determine os juros totais pagos durante o financiamento em cada um dos casos no item (a).

Passo 1

Temos aqui a tarefa inversa do exercício anterior, agora temos o valor do imóvel e queremos descobrir as parcelas. Vai ser, basicamente, a mesma conta. Então vamos la!!! Nossa equação é

S t = c e r t - k r

A seção deste capítulo nos dá essa equação. Onde S(t) é o montante, C nossa constante arbitraria, k as parcelas e r o valor do nosso juros. Assim pelas condições do nosso problema, podemos dizer que

S 0 = S 0 = 250.00,00

r = ( 1,06 1 12 - 1 )  

Temos que trabalhar aqui com juros mensais, afinal pagamos mensalidades do imóvel. A parte dos juros pode ser uma questão de complicação. Afinal temos uma taxa anual de 6%. Por propriedades de exponencial não podemos fazer 6 1 12 nem 0,06 1 12 pois não resultam em valores de juros acurados. Temos que adicionar 1 a r e fazer a conta 1 + r 1 12 , e como a equação requer apenas r, subtraímos 1 ao final. Blz? Vamos achar então nosso valor da constante arbitraria C

250.000 = C - k ( 1,06 1 12 - 1 )  

C = 250.000 +   k ( 1,06 1 12 - 1 )    

Assim nossa função fica

S t = 250.000 +   k ( 1,06 1 12 - 1 )   e ( 1,06 1 12 - 1 ) t - k ( 1,06 1 12 - 1 )

Passo 2

Vamos agora descobrir o valor das parcelas com t = 240   , lembrando que nosso montante tem que chegar a zero nesse tempo, ou seja

S 240 = 0

250.000 +   k ( 1,06 1 12 - 1 )   e ( 1,06 1 12 - 1 ) 240 - k ( 1,06 1 12 - 1 ) = 0

k ( 1,06 1 12 - 1 ) e ( 1,06 1 12 - 1 ) 240 - 1 = - 250.000 e ( 1,06 1 12 - 1 ) 240

k = - 250.000 ( 1,06 1 12 - 1 ) e ( 1,06 1 12 - 1 ) 240 e ( 1,06 1 12 - 1 ) 240 - 1

k =   - 1766

O valor negativo é só indicativo que estamos fazendo esse montante diminuir

Passo 3

Agora vamos calcular o prazo de 30 anos → 360 meses. Podemos usar a equação da seção anterior so mudando o valor do tempo

k = - 250.000 ( 1,06 1 12 - 1 ) e ( 1,06 1 12 - 1 ) 36 0 e ( 1,06 1 12 - 1 ) 36 0 - 1

k =   - 1472

O valor negativo é só indicativo que estamos fazendo esse montante diminuir

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Em 20 anos

k =   - 1766

Em 30 anos

k =   - 1472

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