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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.8 - Ex. 13

Provar os itens a), b) e c) das propriedades 2.5.3.

Passo 1

Então galera, essa questão é puramente matemática mesmo, não tem como fugir disso! Para provarmos os itens a), b) e c) das propriedades 2.5.3, vamos ter que utilizar as proposições 2.5.2 do capítulo 2 da literatura em questão, tudo jóia? A proposição é a seguinte:

Sejam f → t e g → t duas funções vetoriais definidas em um mesmo intervalo. Sabendo disso, temos que:

lim t → t 0 ⁡ f → ( t ) = a →

lim t → t 0 ⁡ g → t = b →

Ademais, em termos de componentes, temos que:

f → t = f 1 t ,   f 2 t ,   f 3 t

g → t = g 1 t ,   g 2 t ,   g 3 t

a → = a 1 ,   a 2 ,   a 3

b → = b 1 ,   b 2 , b 3

Sabendo disso, vai ficar bem tranquilo para provarmos os itens, então bora lá!

Passo 2

a) O primeiro item a ser provado é: lim t → t 0 ⁡ f → t ± g → t = a → ± b → .

Temos que a seguinte soma das funções vetoriais pode ser escrita como:

f → t ± g → t = f 1 t ± g 1 t ,   f 2 t ± g 2 t ,   f 3 t ± g 3 t

Então o limite disso será:

lim t → t 0 ⁡ f → t ± g → t = lim t → t 0 ⁡ f 1 t ± g 1 t i → + f 2 t ± g 2 t j → + f 3 t ± g 3 t k →

= lim t → t 0 ⁡ f 1 t i → + lim t → t 0 ⁡ f 2 t j → + lim t → t 0 ⁡ f 3 t k → ± lim t → t 0 ⁡ g 1 t i → + lim t → t 0 ⁡ g 2 t j → + lim t → t 0 ⁡ g 3 t k →

= lim t → t 0 ⁡ f → t ± lim t → t 0 ⁡ g → t

∴ lim t → t 0 ⁡ f → t ± g → t = a → ± b →

Assim como queríamos demonstrar! 😉

Passo 3

b) O segundo item a ser provado é: lim t → t 0 ⁡ f → t . g → t = a → . b → .

Temos que o produto de duas funções vetoriais pode ser escrito como:

f → t . g → t = f 1 t . g 1 t ,   f 2 t . g 2 t ,   f 3 t . g 3 t

Então o limite disso será:

lim t → t 0 ⁡ f → t . g → t = lim t → t 0 ⁡ f 1 t . g 1 t i → + f 2 t . g 2 t j → + f 3 t . g 3 t k →

Considerando que:

lim t → t 0 ⁡ f t = ( a 1 ,   a 2 ,   a 3 )

lim t → t 0 ⁡ g t = ( b 1 ,   b 2 ,   b 3 )

Temos que o limite pode ser reescrito como:

lim t → t 0 ⁡ f → t . g → t = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

∴ lim t → t 0 ⁡ f → t . g → t = a → . b →

Assim como queríamos demonstrar! 😉

Passo 4

c) O terceiro e último item a ser provado é: lim t → t 0 ⁡ f → t × g → t = a → × b → .

Como se trata de um produto vetorial, podemos escrevê-lo da seguinte forma:

f → t × g → t = i → j → k → f 1 f 2 f 3 g 1 g 2 g 3 = f 2 g 3 - f 3 g 2 i → + f 3 g 1 - f 1 g 3 j → + f 1 g 2 - f 2 g 1 k →

Aplicando o limite, teremos:

lim t → t 0 ⁡ f → t × g → t = lim t → t 0 ⁡ f 2 g 3 - f 3 g 2 i → + f 3 g 1 - f 1 g 3 j → + f 1 g 2 - f 2 g 1 k →

lim t → t 0 ⁡ f → t × g → t = a 2 b 3 - a 3 b 2 i → + a 3 b 1 - a 1 b 3 j → + a 1 b 2 - a 2 b 1 k →

∴ lim t → t 0 ⁡ f → t × g → t = a → × b →

Assim como queríamos demonstrar! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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