Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 65
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui temos que encontrar o limite de:
O problema nos pede pra a gente usar o método mais elementar possível e se não pudermos devemos usar a Regra de L'Hôspital. Vamos começar tentando resolver direto, apenas substituindo o :
Para usar a Regra de L'Hôspital precisamos de uma indeterminação do tipo ou .
Se isso ocorrer basta derivarmos separadamente o numerador e o denominador da expressão até que a indeterminação suma.
Passo 2
Podemos tentar manipular a nossa função pra chegar em uma indeterminação adequada! Repara que a nossa função tem o formato:
Então pode ser legal fazer.
Assim:
Substituindo:
Como é uma constante, eu posso colocar o limite no expoente:
Sendo assim, o limite que precisamos resolver é:
Usando a regra do peteleco de logaritmo:
Podemos ainda reescrever:
Agora sim, a gente pode fazer o teste de novo!
Prontinho! Podemos usar a Regra de L'Hôspital!
Passo 3
Temos o seguinte limite
Derivando em cima e embaixo, temos:
Arranjando, temos:
A secante podemos escrever como , logo:
Finalmente podemos calcular:
Lembrando que:
Portanto: