Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 50

Demonstre que, para as potências de seno,

int_0^((pi)/(2)) se n^(2 n) x d x = (3 * 5 * 7 * ... * (2 n - 1))/(2 * 4 * 6 * ... * 2 n) (pi)/(2)

Passo 1

Nessa resolução usaremos o Exercício 45(a), volte nele para relembrar!

Passo 2

Com o Exercício 49(a), vemos que a fórmula serve para n = 1 porque

int_0^((pi)/(2)) se n^2 x d x = (1)/(2) int_0^((pi)/(2)) 1 d x = (1)/(2) [x]_0^((pi)/(2)) = (1)/(2) (pi)/(2)

Agora, assumiremos que ela serve para algum k >= 1 , portanto,

int_0^((pi)/(2)) se n^(2 k) x d x = (1 * 3 * 5 * ... * (2 k - 1))/(2 * 4 * 6 * ... * (2 k)) (pi)/(2)

Aplicando o Exercício 49(a), teremos que

int_0^((pi)/(2)) se n^(2 (k + 1)) x d x = (2 k + 1)/(2 k + 2) int_0^((pi)/(2)) se n^(2 k) x d x = (2 k + 1)/(2 k + 2) (1 * 3 * 5 * ... * (2 k - 1))/(2 * 4 * 6 * ... * (2 k)) (pi)/(2) =

(1 * 3 * 5 * ... * (2 k - 1) ( 2 k + 1 ))/(2 * 4 * 6 * ... * (2 k) ( 2 k + 2 )) (pi)/(2)

Passo 3

Assim, concluímos que a fórmula serve para n = k + 1 . Por indução, a fórmula serve para todo n >= 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.
Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.
Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.
Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.
Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.