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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.3 - Ex. 44

44- Prove as afirmações de limite nos Exercícios 37-50

lim x → 3 ⁡ 1 x 2 = 1 3

Passo 1

Os dados da questão nos fornece:

x 0 = 3   ,   L = 1 3 ,     f x = 1 x 2

Temos a seguinte equação para a definição precisa do limite:

1 x 2 - 1 3 < ϵ

Desmembrando as equações temos:

- ϵ < 1 x 2 - 1 3 < ϵ

1 3 - ϵ < 1 x 2 < ϵ + 1 3

1 - 3 ϵ 3 < 1 x 2 < 1 + 3 ϵ 3

Invertendo:

3 1 - 3 ϵ > x 2 > 3 1 + 3 ϵ

Tirando a raiz temos o intervalo:

3 1 + 3 ϵ < x < 3 1 - 3 ϵ

Passo 2

Calculando agora para δ :

x - 3 < δ

Desmembrando:

- δ < x - 3 < δ

O que daria o intervalo:

3 - δ < x < δ + 3

Comparando com o intervalo encontrado por ϵ temos:

3 1 + 3 ϵ = 3 - δ

E

3 1 - 3 ϵ = δ + 3

O que dá um δ :

δ = min ⁡ - 3 1 + 3 ϵ + 3 ,       3 1 - 3 ϵ - 3  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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