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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.7 - Ex. 3

Use o método de Newton para estimar as duas raízes da função f ( x )   =   x 4   +   x   -   3 . Comece com x 0   =   - 1 para a raiz à esquerda e depois com x 0   =   1 para a raiz à direita. Então, determine x 2 em cada caso.

Passo 1

O método de Newton nos diz que para estimarmos uma raiz x podemos fazer a seguinte aproximação

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Em que x n diz respeito à nossa aproximação anterior, no nosso caso vamos usar os valores de x 0 fornecidos no problema para encontrarmos x 2 .

Passo 2

Primeiramente calculemos a derivada da nossa função para aplicarmos o método de Newton, assim,

f x =   x 4   +   x   -   3 → f ' x = 4 x 3 + 1

Para o nosso caso a fórmula de Newton se parecerá com

x n + 1 = x n - x n 4 + x n - 3 4 x n 3 + 1

Passo 3

Para nosso x 0 = - 1

x 0 + 1 = x 0 - x 0 4 + x 0 - 3 4 x 0 3 + 1

x 1 = - 1 - 1 - 1 - 3 4 ⋅ ( - 1 ) + 1

x 1 = - 1 - - 3 - 3

x 1 =   - 2

Aplicando novamente o método encontramos

x 2 = x 1 - x 1 4 + x 1 - 3 4 x 1 3 + 1

x 2 = - 2 - 16 - 2 - 3 4 ⋅ - 2 3 + 1

x 2 = - 2 - 11 - 31

x 2 = - 2 + 11 31 =   - 51 31 ≈ 1.64516

Passo 4

Por fim, para nosso x 0 = 1

x 0 + 1 = x 0 - x 0 4 + x 0 - 3 4 x 0 3 + 1

x 1 = 1 - 1 + 1 - 3 4 ⋅ 1 + 1

x 1 = 1 - - 1 5

x 1 = 1 + 1 5 = 6 5

Aplicando novamente o método encontramos

x 2 = x 1 - x 1 4 + x 1 - 3 4 x 1 3 + 1

x 2 = 6 5 - 6 5 4 + ( 6 5 ) - 3 4 ⋅ 6 5 + 1

x 2 = 6 5 - 1296 + 750 - 1875 4320 + 625 = 5763 4945 ≈ 1.16542

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 3 - 2 x + 7 = 0 ; a raiz negativa
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 4 - 10 x + 5 = 0 ; a menor raiz positiva
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. 2 x 4 - 2 x 3 + x 2 + 3 x - 4 = 0 ; a raiz negativa
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 4 + x 3 - 3 x 2 - x - 4 = 0 ; a raiz positiva
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 3 - 4 x - 8 = 0 ; a raiz positiva