43- Prove as afirmações de limite nos Exercícios 37-50

lim x → 1 ⁡ 1 x

Passo 1

Com os valores fornecidos na questão temos:

x 0 = 1 ;         L = 1 ;       f x = 1 x

Temos então a seguinte equação com a definição precisa de limite:

1 x - 1 < ϵ

Passo 2

Desmembrando a equação temos:

- ϵ < 1 x - 1 < ϵ

- ϵ + 1 < 1 x < ϵ + 1

Invertendo a equação temos:

1 1 - ϵ > x > 1 ϵ + 1

1 ϵ + 1 < x < 1 1 - ϵ

Passo 3

O valor de δ então:

x - 1 < δ

Desmembrando a equação temos:

- δ < x - 1 < δ

Somando 1:

1 - δ < x < δ + 1

Comparando essa última equação com essa:

1 ϵ + 1 < x < 1 1 - ϵ

Logo:

1 - δ = 1 1 + ϵ

e

δ + 1 = 1 1 - ϵ

O que nos dá:

δ = 1 - 1 1 + ϵ = ϵ 1 + ϵ

E

δ = 1 1 - ϵ - 1 = ϵ 1 - ϵ

Escolhendo o menor temos a prova em:

δ = ϵ 1 + ϵ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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