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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.Revisão - Ex. 74

Prove analiticamente que o segmento de reta que liga os pontos médios de qualquer par de lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e seu comprimento é a metade do comprimento do terceiro.

Passo 1

O problema nos diz que dado um triângulo ABC qualquer, se ligarmos o ponto médio de AB ao ponto médio de AC, vamos obter um segmento MN paralelo ao terceiro lado (BC) e que vale a sua metade.

Para comprovar vamos ilustrar o enunciado.

Como M é ponto médio de AB: AM = MB

Ou seja:

A B = 2 A M

Como N é ponto médio de AC: AN = NC

Ou seja:

A C = 2 A N

Se MN é paralelo a BC, então os ângulos entre as retas devem ser iguais:

α 1 = α 2

Passo 2

Então, precisamos calcular os ângulos, como são obtusos:

s e n   α = s e n   π - α = C a t e t o   O p o s t o H i p o t e n u s a

cos ⁡ α = - c o s   π - α = C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a

Sendo assim:

t g   α = s e n   α cos ⁡ α = s e n   ( π - α ) - c o s   ( π - α )

Para α 1 :

s e n   π - α 1 = A B B C

c o s   π - α 1 = A C B C

Substituindo:

t g   α 1 = A B B C - A C B C = A B B C . - B C A C = - A B A C = - 2 A M 2 A N = - A M A N

Para α 2 :

s e n   π - α 2 = A M M N

c o s   π - α 2 = A N M N

Substituindo:

t g   α 2 = A M M N - A N M N = A M M N . - M N A N = - A M A N

Ou seja:

t g   α 1 = t g   α 2

  α 1 = α 2

Podemos concluir então que as retas MN e BC são paralelas.

Passo 3

A próxima etapa do problema é descobrirmos se M N = B C 2 .

Para isto, podemos observar que o triângulo AMN e ABC possuem os três ângulos iguais e então são semelhantes pelo caso AA (ângulo-ângulo). Então, se:

A B = 2 A M

A C = 2 A N

Por semelhança:

B C = 2 M N

Ou seja:

M N = B C 2

Concluindo que MN vale a metade do comprimento de BC.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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