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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 41

Calcule a integral :

int_0^((sqrt(3))/(2)) ( (d r)/(sqrt(1 - r^2)) )

Passo 1

Opa, bora calcular essa integralzinha aqui:

int_0^((sqrt(3))/(2)) (1)/(sqrt(1 - r^2)) d r

Percebemos que o integrando é do tipo (1)/(sqrt(1 - r^2)) . Identificada a integral, sabemos que:

int (1)/(sqrt(1 - x^2)) d r = sin^(- 1) x + C

A nossa integral é definida, então a gente não usa a constante de integração. Beleza?!

Passo 2

Integrando:

int_0^((sqrt(3))/(2)) (1)/(sqrt(1 - r^2)) d r = sin^(- 1) (x|_0^((sqrt(3))/(2))

Aplicando os limites de integração e resolvendo:

int_0^((sqrt(3))/(2)) (1)/(sqrt(1 - r^2)) d r = sin^(- 1) (sqrt(3))/(2) - sin^(- 1) 0 = (pi)/(3)

Prontinho!!

Resposta

int_0^((sqrt(3))/(2)) (1)/(sqrt(1 - r^2)) d r = (pi)/(3)

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