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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 33

Calcule a integral :

int_1^2 ((x)/(2) - (2)/(x)) d x

Passo 1

Opa, temos que calcular a seguinte integral:

int_1^2 ((x)/(2) - (2)/(x)) d x

Primeiramente, podemos desmembrar o integrando a fim de termos uma melhor visualização, e retirar as constantes da integral:

int ((x)/(2) - (2)/(x)) d x = (1)/(2) int x d x - 2 int (1)/(x) d x

Passo 2

Feito o passo 1, percebemos que o primeiro integrando é do tipo x^n , e o segundo é do tipo (1)/(x) . Identicadas as integrais, sabemos que:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

E

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Passo 3

Calculando enfim as integrais temos:

(1)/(2) int x d x - 2 int (1)/(x) d x = (1)/(2) (x^2)/(2) - 2 ln | x | + C

Simplificando obtemos:

(x^2)/(4) - 2 ln | x | + C

Aplicando os limites de integração, temos:

((2^2)/(4) - 2 ln |2|) - ((1^2)/(4) - 2 ln |1|) = 1 - 2 ln 2 - (1)/(4)

= (3)/(4) - 2 ln 2

Prontinho!!! Temos:

int_1^2 ((x)/(2) - (2)/(x)) d x = (3)/(4) - 2 ln 2

Resposta

int_1^2 ((x)/(2) - (2)/(x)) d x = (3)/(4) - 2 ln 2

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