Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 60
Encontre a derivada da função.
Passo 1
Tranquilidade?
Temos o seguinte problema em nossas mãos:
Precisamos encontrar a derivada de (x), sendo
Beleza, vamos nessa! Para aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, precisamos que a integral tenha uma única variável por vez. Então, a gente vai dar uma manipulada na expressão.
Primeiro, vamos separar essa integral em duas partes, mas como fazer isso? Usamos a propriedade que permite dividir o intervalo em dois. Lembre-se que o final de uma integral tem que ser o começo da outra.
Depois ainda vamos ter uma integral onde o limite inferior é uma função de . Para resolver isso, a gente inverte a ordem de integração e coloca um sinal de negativo na frente.
E aí sim partimos para resolver o problema.
Esse é o nosso plano!
Passo 2
Podemos separar os limites de integração, vamos integrar a primeira de ate , e a segunda de até , dessa forma:
O importante aqui é lembrar que o final de uma tem que ser exatamente o começo da outra.
Ainda não está bem no formato que precisamos, vamos aplicar aquela propriedade que podemos inverter a ordem de integração desde que coloquemos um sinal de negativo na frente da integral, foi exatamente o que fizemos aqui na nossa primeira integral
Agora sim! Vamos resolver separadamente cada uma.
Passo 3
Começando por:
Vamos fazer uma substituição:
Se queremos a derivada de em função de podemos usar a Regra da Cadeia:
Então primeiro vamos derivar em função de :
Neste caso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, ok?
Substituindo u:
Agora nos falta achar
Mas não é bem isso que queremos, certo? Vamos jogar tudo isso na Regra da Cadeia:
Ok! Finalizamos a primeira integral, mas é composta de duas!
Passo 4
Agora vamos para a outra:
Vamos fazer uma substituição:
Se queremos a derivada de em função de podemos usar a Regra da Cadeia:
Então primeiro vamos derivar em função de u:
Neste caso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, ok?
Substituindo u:
Agora nos falta achar
Mas não é bem isso que queremos, certo? Vamos jogar tudo isso na Regra da Cadeia:
Passo 5
Ufaa! Agora vamos juntar!
Nós podemos ainda usar as identidades trigonométricas para manipular mais um pouco, mas não é obrigatório!
Substituindo:
Então:
Prontinhoo!
