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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 36

Calcule a integral :

int_((pi)/(4))^((pi)/(3)) csc^2 theta d theta

Passo 1

Opa, bora resolver essa integralzinha:

int_((pi)/(4))^((pi)/(3)) csc^2 theta d theta

Percebemos que o integrando é do tipo csc^2 theta . Identificada a integral, sabemos que:

int csc^2 theta d theta = - cot theta + C

A gente vai calcular uma integral definida, então não usamos constante de integração! Beleza?!

Passo 2

Calculando a integral:

int_((pi)/(4))^((pi)/(3)) csc^2 �� theta d theta = (- cot theta|_((pi)/(4))^((pi)/(3))

Aplicando os limites de integração, temos:

(- cot theta|_((pi)/(4))^((pi)/(3)) = cot (pi)/(3) - (- cot (pi)/(4))

cot (pi)/(3) - (- cot (pi)/(4)) = - (1)/(sqrt(3)) + 1

Podemos dar uma arrumadinha:

int_((pi)/(4))^((pi)/(3)) csc^2 theta d theta = (- sqrt(3) + 3)/(3)

Prontinho!

Resposta

int_((pi)/(4))^((pi)/(3)) csc^2 theta d theta = (- sqrt(3) + 3)/(3)

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