Suponha que admite derivada de 3º ordem contínua no intervalo aberto e seja . Prove que se e então é um ponto de inflexão horizontal.

Como tanto a primeira, como a segunda derivada são iguais a zero, isso não demonstra muito sobre se o ponto é um ponto de máximo ou mínimo. Portanto, vamos fazer o seguinte:

Portanto, temos que é um ponto de máximo ou mínimo de já que . Dessa forma, como se for um ponto de máximo, qualquer que a função caminhar sera um valor negativo, caso se for um ponto de mínimo qualquer variação fara com que seja uma valor positivo. Portanto, isso demonstra que a inclinação da função para valores próximos de se mantem com mesmo sinal durange a passagem pelo ponto . Portanto só ponto ser um ponto de inflexão da função .