Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.7 - Ex. 12
Seja derivável até a segunda ordem em , tal que, para todo :
- Prove que não admite ponto de máximo local em
- Prove que não admite ponto de mínimo local em
- Prove que é estritamente crescente em
Passo 1
Faaaaaaaaala aí, tudo certinho? Vejamos bem... o exercício nos pede pontos de máximos e mínimos locais e quando a função é crescente no intervalo dado. Mas antes de começar, vamos fazer algumas considerações..
Veja bem, o livro nos diz que se é derivável em , para que isso seja verdade temos que os limites laterais devem ser iguais:
Para resolver o nosso limite podemos aplicar a Regra de L’Hopital,
Além disso, temos que,
Agora já temos bastaaaaaaaaaante informações.
Passo 2
Agora vamos usar as condições que o exercício nos propõe, temos que:
Reorganizando a equação dada pelo exercício temos que:
Seguindo o enunciado, temos que:
Dessa maneira, a segunda derivada também pode ser escrita como:
Mas quando sabemos quando um ponto é máximo ou mínimo?
Quando crescem à medida que cresce, e e a concavidade (boca da função é voltada para cima).
Quando decresce à medida que cresce, e e a concavidade (boca da função é voltada para baixo).
Passo 3
Agora, vamos responder o que o exercício propõe. Para se ter um máximo local precisamos de
Só que isso não será possível no intervalo dado de , essa região só tem valores positivos e dessa forma a segunda derivada não será negativa e não existe um máximo local para
Agora, podemos provar também que não admite um ponto de mínimo local em
Então:
Nesse intervalo para existir um máximo local e só existem valores negativos e sem mínimo local.
Agora por fim, para provar que é estritamente crescente em só podemos pegar dois valores e provar que:
Se o exercício nos dá que
Para e :
Feito?
Resposta
(a)(b) Não é possível chegar a máximo e mínimo. (c)