Suponha que f admite derivada de 3º ordem contínua no intervalo aberto I e seja p ∈I . Prove que se f ' p = f ' ' p = f ' ' ' p = 0 e f 4 p ≠ 0 , então p será ponto de máximo local se f 4 p0 e será ponto de mínimo local se f 4 p0 .

p é um ponto de máximo local se f 4 p0 e ponto de mínimo local se f 4 p0 .

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.7 - Ex. 3

Suponha que admite derivada de 3º ordem contínua no intervalo aberto e seja . Prove que se e então será ponto de máximo local se e será ponto de mínimo local se .

Passo 1

Essa questão pode se resolvida de modo parecido com o exércio 2. Nesse caso, vamos chamar . Dessa forma toda análise feita no intem anterior se mantem válida e portanto, é um ponto de inflexão horizontal em . Isso implica que se se é um ponto de inflexão horizontal que esta decrescendo, portanto assumindo um valor muito pequeno , temos que:

Dessa forma, a função tem o compartamento, nas proximidades de , de para valores menores de ter uma inclinação da reta positiva, chegando em tem inclinação horizontal e depois uma inclinação negativa. Esse é o comportamento de um ponto de máximo local, portanto se , é um ponto de máximo local.

Passo 2

Agora, quando temos , é um ponto de inflexão horizontal que esta crescendo. Portanto temos o seguinte:

Assim, a função tem a inclinação negativa, para pontos menores que , zera quando chega em e para pontos maiores que tem inclinação positiva. Dessa forma, quando , é um ponto de mínimo local.

Resposta

é um ponto de máximo local se e ponto de mínimo local se .

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