Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.7 - Ex. 8
(Teorema de Darboux.) Suponha derivável em . Com e Prove que existe em tal que
Passo 1
Oi, galerinha! Pra essa questão, temos que usar o Teorema de Darboux. Mas peraí, o que ele diz mesmo?
O Teorema de Darvoux fala que se temos uma função que seja diferenciável dentro de um intervalo fechado , ou seja, a função vai possuir derivada em tooodos os valores dentro desse intervalo, podemos concluir que existe algum dentro desse intervalo (sem contar e ) tal que o valor da derivada em está entre o valor da derivada de e .
No caso do nosso problema, , beleza? Vamos lá!
Passo 2
Sabemos, do enunciado, que vai ser menor que :
E, analogamente, vai ser maior que :
Agora pensa comigo: se uma derivada é negativa, sua reta tangente é decrescente, e se a derivada é positiva, sua reta tangente é crescente.
Passo 3
Além disso, temos que a nossa função é contínua! Como em temos uma derivada menor que e em temos uma derivada maior que , temos que essa função é uma curva. E essa curva, em algum momento vai der que “dar a volta” (por isso a reta tangente uma hora decresce e outra hora cresce).
No pico “da volta” dessa curva, teremos um ponto crítico (podendo ser um máximo ou mínimo). E a derivada nesse ponto vai ser igual a .
Então, teremos algum ponto no intervalo , tal que sua derivada seja :
Ou seja, a gente consegue provar essa afirmação analisando as inclinações das retas tangentes!
Resposta
no momento que a curva de g(x) muda de inclinação.