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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 7

Prove que existe delta > 0 tal que

1 - delta < x < 1 + delta ⟹ 2 - (1)/(2) < (x^5 + 3 x)/(x^2 + 1) < 2 + (1)/(2)

Passo 1

Vamos dar uma olhada na definição precisa de limite, temos que:

underset(x -> a)(lim) f (x) = L

se para todo número epsilon > 0 houver um número delta > 0 tal que

se a - delta < x < a + delta então L - epsilon < f (x) < L + epsilon

Passo 2

Vamos supor que delta > 0 , e vamos extrair essas informações:

a = 1 , f (x) = (x^5 + 3 x)/(x^2 + 1) , L = 2 e epsilon = (1)/(2)

Vamos calcular o limite e ver se ele é igual a L = 2 :

underset(x -> 1)(lim) (x^5 + 3 x)/(x^2 + 1) = (1^5 + 3 * 1)/(1^2 + 1) = (1 + 3)/(1 + 1) = (4)/(2) = 2

Pronto, temos que underset(x -> 1)(lim) (x^5 + 3 x)/(x^2 + 1) = 2 = L , e pela definição nossa suposição está correta.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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