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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 46

Calcule

int_0^1 sin 5 x d x

Passo 1

Primeiro faremos uma substituição tal que 5 x = u -> 5 d x = d u -> d x = (d u)/(5)

E que 5 (1) = 5 e 5 (0) = 0

int_0^1 sin 5 x d x = (1)/(5) int_0^5 sin u d u

Passo 2

Vamos agora lembrar que se:

(d (cos u))/(d u) = - sin u -> int sin u d u = - cos u

Assim:

(1)/(5) int_0^5 sin u d u = - (1)/(5) [cos u] (5)/(0)

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: - (1)/(5) [cos u] (5)/(0) =

= - (1)/(5) (cos (5) - (cos (0))) =

= - (1)/(5) (cos 5 - (1)) = ((1 - cos 5))/(5)

Resposta

int_0^1 sin 5 x d x = ((1 - cos 5))/(5)

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