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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 44

Calcule

int_(- 1)^0 e^(- 2 x) d x

Passo 1

Primeiro faremos uma substituição tal que - 2 x = u -> - 2 d x = d u -> d x = - (d u)/(2)

E que - 2 (0) = 0 e - 2 (- 1) = 2

int_(- 1)^0 e^(- 2 x) d x = - (1)/(2) int_2^0 e^u d u

Passo 2

Vamos agora lembrar que se:

(d (e^u))/(d x) = e^u -> int e^u d x = e^u

Assim:

int_(- 1)^0 e^(- 2 x) d x = - (1)/(2) [e^u] (0)/(2)

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (u) uma primitiva de f (u) , então:

int_a^b f (u) d u = F (b) - F (a)

Assim: - (1)/(2) [e^u] (0)/(2) = - (1)/(2) (e^0 - (e^2)) = (1)/(2) (e^2 - 1)

Resposta

int_(- 1)^0 e^(- 2 x) d x = (1)/(2) (e^2 - 1)

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