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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 37

Calcule

int_1^3 (1 + (1)/(x)) d x

Passo 1

Podemos reescrever como sendo:

int_1^3 (1 + (1)/(x)) d x = int_1^3 d x + int_1^3 (1)/(x) d x = int_1^3 d x + int_1^3 x^(- 1) d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Para int d x = int x^0 d x , n = 0

int x^0 d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((0) + 1))/((0) + 1) = (x^1)/(1) = x

Também temos a integração para o caso particular:

int (1)/(x) d x = ln |x|

Assim:

int_1^3 (1 + (1)/(x)) d x = [x + ln |x|]

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: [x + ln |x|] (3)/(1) =

= (3 + ln |3| - (1 + ln |1|)) =

Lembrando que ln 1 = 0

= (3 - 1 + ln 3) = 2 + ln 3

Resposta

int_1^3 (1 + (1)/(x)) d x = 2 + ln 3

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