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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.4 - Ex. 52

Um satélite de observação terrestre tem sensores de horizonte que podem medir o ângulo θ mostrado na figura abaixo. Seja R o raio da Terra (supostamente esférica) e h a distância entre o satélite e a superfície da Terra.

  1. Mostre que sen ⁡ θ = R R + h
  2. Obtenha θ até o grau mais próximo para um satélite que está a 10.000   k m da superfície (use R = 6.378   k m ) .

Passo 1

Olá povo bonito? Como vocês estão? Aqui ta tudo certinho :D. A primeiríssima coisa que nossa questão pede é provar que:

θ = R R + h

Onde R é o raio da terra supostamente (hahaha) esférica

Ok ok, brincadeiras à parte, vamos ter também que h é a distância entre o satélite e a terra. A figura do enunciado é essa:

Mas podemos, pra ficar mais claro, redesenhar esse triângulo retângulo para:

Po galera, olhando pra essa imagem, vemos que o triângulo maior que, mesmo a gente desconhecendo a base, conhecemos a altura “ R ” e hipotenusa “ R + h ”. E quem é que relaciona essas duas grandezas se não o seno? Sendo assim:

sin ⁡ θ = R R + h

Passo 2

Pra fecharmos, a questão pede pra acharmos θ até o grau mais próximo para um satélite que está a 10.000   k m da superfície, usando R = 6.378   k m . Po galera, ta tudo na mesma unidade de medida, então nem preciso me preocupar com isso! Seja:

sin ⁡ θ = R R + h

θ = arc sen ⁡ R R + h

Usando esses valores de R e h numa ferramenta famosa de planilhas e a função =”ASEN()”, achamos o seguinte valor de θ :

Logo:

θ = 23 o

Resposta

  1. Provado no Passo 1
  2. θ = 23 o
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Use um recurso computacional para aproximar a solução da equação. Quando forem usados radianos, expresse sua resposta com quatro casas decimais; quando forem usados graus, expresse-a até o décimo de g
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