Prove que:

  1. arc_sen(-x) = -arc_sen(x)
  2. arc tg(-x) = -arc tg(x)

Passo 1

Eai povoooo, tranquilão? Olha só, vamos primeiro tentar provar:

arc sen (- x) = - arc sen (x)

E pra isso, vamos olhar o círculo trigonométrico:

Como tamos começando a questão com função arcosseno, vamos chamar então, na figura acima:

- x = sen (alpha)

Pois dessa forma, temos que:

alpha = arc sen (- x)

Show de bola. Só que nota o seguinte, se quisermos ver o ângulo - alpha , teríamos:

Galerinha bonita, comparando as imagem, podemos ver que, de fato, vale a equação abaix:

sen (- alpha) = - sen (alpha)

Como chamamos “ - x = sen (alpha) ”, se substituirmos, ficamos com:

sen (- alpha) = - (- x)

sen (- alpha) = x

E fazendo a inversa trigonométrica:

- alpha = arc sen (- x)

Opa, tamos quase! Já que confirmamos no início da questão “ alpha = arc sen (- x) ”, substituindo alpha ali do lado esquerdo, temos:

arc sen (- x) = - arc sen (x)

Tá provado!

Passo 2

Vamos provar agora

arc tg (- x) = - arc tg (x)

Pra isso pessoal, a ideia vai ser parecida, ok? Seja o círculo trigonométrico, considerando as tangentes agora:

Podemos começar chamando:

- x = tg (alpha)

De forma que:

alpha = arc tg (- x)

E olhando para o ângulo - alpha agora, vemos que:

x = tg (- alpha)

Fazendo a trigonométrica inversa correspondente, temos:

- alpha = arc tg (x)

alpha = - arc tg (x)

E igualando as duas expressões de alpha que encontramos, fechamos a questão!

arc tg (- x) = - arc tg (x)

Resposta

Provado ao longo dos passos 1 e 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados