Suponha que f x ≤ M para todo x , onde M é uma constante. Além disso, suponha que lim x → a ⁡ g x = 0 . Use o teorema do “sanduíche” para provar que lim x → a ⁡ f x g x = 0

Passo 1

Pelos dados do enunciado podemos fazer a seguinte afirmação:

0 ≤ f x ≤ M

Passo 2

Agora vamos tirar o módulo de f x e multiplicar g x em toda a expressão.

- M ≤ f x ≤ M

- M ≤ f x ≤ M ∙ g x

- M g x ≤ f x g x ≤ M g x

Passo 3

Agora tirar o módulo do g x no f x g x e depois apliquemos limite de x tendendo a 0 em toda a expressão e resolvemos os limites.

- M g x ≤ f x g x ≤ M g x

lim x → 0 ⁡ - M g x ≤ lim x → 0 ⁡ f x g x ≤ lim x → 0 ⁡ M g x

- M ( 0 ) ≤ lim x → 0 ⁡ f x g x ≤ M ( 0 )

0 ≤ lim x → 0 ⁡ f x g x ≤ 0

Resposta

Como lim x → 0 ⁡ - M g x que é menor que lim x → 0 ⁡ f x g x e lim x → 0 ⁡ M g x que é maior que lim x → 0 ⁡ f x g x convergem para 0 , então pelo teorema do “sanduíche”   lim x → 0 ⁡ f x g x é igual 0 .

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