Suponha que f x ≤ M para todo x , onde M é uma constante, use o teorema do “sanduíche” para provar que lim x → 0 ⁡ x 2 f x = 0

Passo 1

Pelos dados do enunciado podemos fazer a seguinte afirmação:

0 ≤ f x ≤ M

Passo 2

Agora vamos tirar o módulo de f x e multiplicar x 2 em toda a expressão.

- M ≤ f x ≤ M

- M ≤ f x ≤ M ∙ x 2

- x 2 M ≤ x 2 f x ≤ x 2 M

Passo 3

Agora apliquemos limite de x tendendo a 0 em toda a expressão e resolvemos os limites.

lim x → 0 ⁡ - x 2 M ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 f x ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 M

- ( 0 ) 2 M ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 f x ≤ ( 0 ) 2 M

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 f x ≤ 0

Resposta

Como lim x → 0 ⁡ - x 2 M que é menor que lim x → 0 ⁡ x 2 f x e lim x → 0 ⁡ x 2 M que é maior que lim x → 0 ⁡ x 2 f x convergem para 0 , então pelo teorema do “sanduíche”   lim x → 0 ⁡ x 2 f x é igual 0 .

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