Prove que tg 81° - tg 63° - tg 27° + tg 9° = 4

Passo 1

Então galera, a ideia nesse tipo de questão é reorganizar a expressão pra usar uma fórmula de soma e diferença de tangentes. t g   p + t g   q = s e n   p + q c o s c o s   p   ⋅ c o s c o s   q  

Podemos reescrever nossa expressão da seguinte forma:

t g   81 ° + t g   9 ° - ( t g   63 ° + t g   27 ° )

A partir daí, conseguimos usar a fórmula da soma das tangentes, ficando com:

t g   81 ° + t g   9 ° = s e n   81 ° + 9 ° c o s c o s   81 °   ⋅ c o s c o s   9 °   = s e n   90 ° c o s c o s   81 °   ⋅ c o s c o s   9 °  

- t g   63 ° + t g   27 ° = - s e n   63 ° + 27 ° c o s c o s   63 °   ⋅ c o s c o s   27 °   = - s e n   90 ° c o s c o s   63 °   ⋅ c o s c o s   27 °  

No final dessa etapa estamos com: t g   81 ° + t g   9 ° - t g   63 ° + t g   27 ° = s e n   90 ° c o s c o s   81 °   ⋅ c o s c o s   9 °   - s e n   90 ° c o s c o s   63 °   ⋅ c o s c o s   27 °  

Passo 2

O próximo passo vai ser reescrever os produtos dos denominadores das frações, lembrando que:

c o s c o s   p   + c o s c o s   q   = 2 ⋅ c o s c o s   p + q 2   ⋅ c o s c o s   p - q 2  

c o s c o s   p   + c o s c o s   q   2 = c o s c o s   p + q 2   ⋅ c o s c o s   p - q 2  

Para definir quem será o “p” e o “q” no primeiro denominador, vamos resolver o sistema:

{ p + q 2 = 81   p - q 2 = 9  

Resultando em p = 90 ° e q = 72 ° .

No segundo denominador vamos realizar o mesmo processo:

{ p + q 2 = 63   p - q 2 = 27  

Resultando em p = 90 ° e q = 36 ° .Substituindo tudo isso na expressão vamos ficar com:

s e n   90 ° c o s c o s   90 °   + c o s c o s   72 °   2 - s e n   90 ° c o s c o s   90 °   + c o s c o s   36 °   2 = 2 ⋅ s e n   90 ° c o s c o s   90 °   + c o s c o s   72 °   - 2 ⋅ s e n   90 ° c o s c o s   90 °   + c o s c o s   36 °  

Passo 3

Agora vamos relembrar alguns conceitos de trigonometria. Primeiro vamos lembrar que s e n   90 ° = 1 e que c o s c o s   90 °   = 0 . Substituindo ficamos com:

2 ⋅ s e n   90 ° c o s c o s   90 °   + c o s c o s   72 °   - 2 ⋅ s e n   90 ° c o s c o s   90 °   + c o s c o s   36 °   = 2 c o s c o s   72 °   - 2 c o s c o s   36 °      

Vamos lembrar também que c o s c o s   a   = s e n   ( 90 - a ) . Ou seja, c o s c o s   72 °   = s e n   18 ° e c o s c o s   36 °   = s e n   54 ° . Substituindo, vamos escrever:

2 c o s c o s   72 °   - 2 c o s c o s   36 °   = 2 s e n   18 ° - 2 s e n   54 °

Passo 4

Nesse momento vamos simplificar algebricamente a expressão:

2 s e n   18 ° - 2 s e n   54 ° = 2 ⋅ s e n   54 ° - s e n   18 ° s e n   18 ° ⋅ s e n   54 °

Agora, vamos transformar esse numerador em produto usando a fórmula:

s e n   p - s e n   q = 2 ⋅ s e n p - q 2 ⋅ c o s c o s   p + q 2  

Vamos escrever:

2 ⋅ s e n   54 ° - s e n   18 ° s e n   18 ° ⋅ s e n   54 ° = 2 ⋅ 2 ⋅ s e n   18 ° ⋅ c o s c o s   36 °   s e n   18 ° ⋅ s e n   54 °

Lembrando que c o s c o s   a   = s e n   90 - a → c o s c o s   36 °   = s e n   54 ° , podemos simplificar a expressão em:

2 ⋅ 2 ⋅ s e n   18 ° ⋅ c o s c o s   36 °   s e n   18 ° ⋅ s e n   54 ° = 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = 4

Resposta

Resposta nos passos

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