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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 233

Prove que t g 81 ° - t g 63 ° - t g 27 ° + t g 9 ° = 4

Passo 1

Então galera, a ideia nesse tipo de questão é reorganizar a expressão pra usar uma fórmula de soma e diferença de tangentes. t g p + t g q = (s e n (p + q))/(c o s c o s p * c o s c o s q)

Podemos reescrever nossa expressão da seguinte forma:

(t g 81 ° + t g 9 °) - ( t g 63 ° + t g 27 ° )

A partir daí, conseguimos usar a fórmula da soma das tangentes, ficando com:

t g 81 ° + t g 9 ° = (s e n (81 ° + 9 °))/(c o s c o s 81 ° * c o s c o s 9 °) = (s e n 90 °)/(c o s c o s 81 ° * c o s c o s 9 °)

- (t g 63 ° + t g 27 °) = - (s e n (63 ° + 27 °))/(c o s c o s 63 ° * c o s c o s 27 °) = - (s e n (90 °))/(c o s c o s 63 ° * c o s c o s 27 °)

No final dessa etapa estamos com: (t g 81 ° + t g 9 °) - (t g 63 ° + t g 27 °) = (s e n 90 °)/(c o s c o s 81 ° * c o s c o s 9 °) - (s e n (90 °))/(c o s c o s 63 ° * c o s c o s 27 °)

Passo 2

O próximo passo vai ser reescrever os produtos dos denominadores das frações, lembrando que:

c o s c o s p + c o s c o s q = 2 * c o s c o s (p + q)/(2) * c o s c o s (p - q)/(2)

(c o s c o s p + c o s c o s q)/(2) = c o s c o s (p + q)/(2) * c o s c o s (p - q)/(2)

Para definir quem será o “p” e o “q” no primeiro denominador, vamos resolver o sistema:

{ (p + q)/(2) = 81 (p - q)/(2) = 9

Resultando em p = 90 ° e q = 72 ° .

No segundo denominador vamos realizar o mesmo processo:

{ (p + q)/(2) = 63 (p - q)/(2) = 27

Resultando em p = 90 ° e q = 36 ° .Substituindo tudo isso na expressão vamos ficar com:

(s e n 90 °)/((c o s c o s 90 ° + c o s c o s 72 °)/(2)) - (s e n (90 °))/((c o s c o s 90 ° + c o s c o s 36 °)/(2)) = (2 * s e n 90 °)/(c o s c o s 90 ° + c o s c o s 72 °) - (2 * s e n 90 °)/(c o s c o s 90 ° + c o s c o s 36 °)

Passo 3

Agora vamos relembrar alguns conceitos de trigonometria. Primeiro vamos lembrar que s e n 90 ° = 1 e que c o s c o s 90 ° = 0 . Substituindo ficamos com:

(2 * s e n 90 °)/(c o s c o s 90 ° + c o s c o s 72 °) - (2 * s e n 90 °)/(c o s c o s 90 ° + c o s c o s 36 °) = (2)/(c o s c o s 72 °) - (2)/(c o s c o s 36 °)

Vamos lembrar também que c o s c o s a = s e n ( 90 - a ) . Ou seja, c o s c o s 72 ° = s e n 18 ° e c o s c o s 36 ° = s e n 54 ° . Substituindo, vamos escrever:

(2)/(c o s c o s 72 °) - (2)/(c o s c o s 36 °) = (2)/(s e n 18 °) - (2)/(s e n 54 °)

Passo 4

Nesse momento vamos simplificar algebricamente a expressão:

(2)/(s e n 18 °) - (2)/(s e n 54 °) = 2 * (s e n 54 ° - s e n 18 °)/(s e n 18 ° * s e n 54 °)

Agora, vamos transformar esse numerador em produto usando a fórmula:

s e n p - s e n q = 2 * s e n (p - q)/(2) * c o s c o s (p + q)/(2)

Vamos escrever:

2 * (s e n 54 ° - s e n 18 °)/(s e n 18 ° * s e n 54 °) = 2 * (2 * s e n 18 ° * c o s c o s 36 °)/(s e n 18 ° * s e n 54 °)

Lembrando que c o s c o s a = s e n (90 - a) -> c o s c o s 36 ° = s e n 54 ° , podemos simplificar a expressão em:

2 * (2 * s e n 18 ° * c o s c o s 36 °)/(s e n 18 ° * s e n 54 °) = 2 * 2 * 1 = 4

Resposta

Resposta nos passos

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