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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.3 - Ex. 59

55-62. Encontre os limites usando uma substituição apropriadas.

59. lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x ln ⁡ 3 x [Sugestão: t = ln ⁡ x ].

Passo 1

Para resolvermos esse limite vamos utilizar a sugestão que o enunciado nos dá, tudo bem? Antes disso vamos tentar reescrever nosso limite de outra forma, saca só:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x ln ⁡ 3 x = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 + ln ⁡ x ln ⁡ 3 + ln ⁡ x

Aqui utilizamos a propriedade de logaritmo: ln ⁡ a . b = ln ⁡ a + ln ⁡ b . Tudo bem, uma vez simplificado, vamos utilizar a substituição sugerida:

t = ln ⁡ x

Como queremos escrever nosso limite em função de t agora, aplicando o valor de x , teremos:

t = ln ⁡ + ∞ = + ∞

Tudo bem, primeira parte concluída!

Passo 2

Agora que temos tudo em função de t , vamos substituir em seus devidos lugares, saca só:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 + ln ⁡ x ln ⁡ 3 + ln ⁡ x = lim t → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 + t ln ⁡ 3 + t

Se dividirmos todos os membros da divisão por t , teremos:

lim t → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 t + t t ln ⁡ 3 t + t t = lim t → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 t + 1 ln ⁡ 3 t + 1

Agora sim, aplicando o limite teremos como resultado:

lim t → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 t + 1 ln ⁡ 3 t + 1 = 0 + 1 0 + 1 = 1

∴ lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x ln ⁡ 3 x = 1

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x ln ⁡ 3 x = 1

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