Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.3 - Ex. 54
54. a) Explique por que podemos calcular fazendo a substituição e escrevendo:
b) Suponha que com . Dada qualquer função , explique por que podemos calcular fazendo a substituição e escrevendo:
(Aqui, a igualdade significa que ou ambos os limites existem e são iguais ou nenhum dos dois limites existe.)
c) Por que o resultado da parte b) permanece válido se todos os forem substituídos por um dos seguintes ?
Passo 1
a) A substituição indicada pelo enunciado é apenas um processo de simplificação para nossos cálculos, galera! Em outras palavras temos que . Utilizando a substituição , temos que o limite escrito em termos de será o seguinte:
Como o limite em está tendendo para , temos:
Sendo assim, nosso limite será:
Aplicando o limite:
Que é exatamente o resultado dado pelo enunciado, como queríamos provar!
Passo 2
b) Então pessoal, se então pode ser arbitrariamente pequeno (quanto quisermos). No entanto, considerando os valores de no qual , podemos ver que também tem o limite tendendo a . Se tem o limite quando , os valores de podem ser arbitrariamente próximos de , tomando pequeno o suficiente! Sendo assim, se é pequeno o suficiente, então e também são próximos de . É por isso que podemos realizar essa operação!
Passo 3
c) Para o limite quando o mesmo raciocínio da letra b) é aplicado na substituição, isto é, “x diminui sem limite” em vez de “x aumenta sem limite”. Para os outros limites basta mudarmos a condição para próximo o suficiente de que o raciocínio continua o mesmo também!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)