Prove a parte (ii) do Teorema de Limite 13 (2.5.3): Se r for um inteiro positivo qualquer, então:

i i lim x → - ∞ ⁡ 1 x r = 0

Passo 1

Bora lá. Pra isso vamos usar a definição 2.5.1. Seja lim x → - ∞ ⁡ 1 x r = 0 , se para todo ε > 0 , não importa o quão pequeno, existir um N < 0 tal que x < N , então 1 x r - 0 < ε

1 x r < ε

1 x r < ε

x r > 1 ε

x r > 1 ε

Como r > 0 :

x > 1 ε 1 r

Passo 2

Da definição de módulo:

x = x ,     s e   x ≥ 0 - x ,     s e   x < 0

Como queremos N < 0 tal que x < N , a definição de módulo que usaremos é a negativa, fazendo com que fiquemos com:

- x > 1 ε 1 r

x < - 1 ε 1 r

Conclusão que chegamos é que se para todo ε > 0 , não importa o quão pequeno, existir um número N = - 1 ε 1 r tal que x < N , então será verdade 1 x r - 0 < ε .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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