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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.4 - Ex. 1m

Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.

underset(x -> 2)(lim) (g (x) - g (2))/(x - 2) o n d e g (x) = {[[x s e x >= 2],[(x^2)/(2) s e x < 2]])

Passo 1

Temos que ver se os limite laterais são iguais, caso sejam, o limite existe e possui aquele valor:

Se underset(x -> p ⁺)(lim) f (x) = underset(x -> p ⁻)(lim) f (x) = L então underset(x -> p)(lim) f (x) = L

Vamos lá, vamos analisar o limite:

underset(x -> 2 ⁺)(lim) (g (x) - g (2))/(x - 2)

Temos aqui na expressão do limite que como ele quer x tendendo a 2 pela direita, vamos pegar a condição de x >= 2 de g (x) e substituir no limite:

g (x) = x

g (2) = x = 2

underset(x -> 2 ⁺)(lim) (g (x) - g (2))/(x - 2) = underset(x -> 2 ⁺)(lim) (x - 2)/(x - 2) = underset(x -> 1^+)(lim) 1 = 1

Passo 2

Agora com x tendendo a 2 pela esquerda, vamos pegar a condição de x < 2 de g (x) e substituir no limite:

g (x) = (x^2)/(2)

g (2) = (x^2)/(2) = (2^2)/(2) = (4)/(2) = 2

underset(x -> 2 ⁻)(lim) (g (x) - g (2))/(x - 2) = underset(x -> 2 ⁻)(lim) ((x^2)/(2) - 2)/(x - 2)

Aqui vamos tirar o mínimo do numerador:

underset(x -> 2 ⁻)(lim) ((x^2)/(2) - 2)/(x - 2) = underset(x -> 2 ⁻)(lim) ((x^2 - 4)/(2))/(x - 2) = underset(x -> 2 ⁻)(lim) ((x^2 - 4)/(2)) * ((1)/(x - 2))

No denominador temos um polinômio do segundo grau, da seguinte forma x^2 - 4 , então podemos usar a seguinte fórmula e achar o valor de a e b :

a^2 - b^2 = (a + b) (a - b)

De cara sabemos que a = x e b = 2 , assim vamos ficar com:

a^2 - b^2 = (a + b) (a - b) -> x^2 - 2^2 = (x + 2) (x - 2)

Vamos ter então o limite:

underset(x -> 2 ⁻)(lim) ((x^2 - 4)/(2)) * ((1)/(x - 2)) = underset(x -> 2 ⁻)(lim) (((x + 2) (x - 2))/(2)) * ((1)/(x - 2)) = underset(x -> 2 ⁻)(lim) (((x + 2))/(2)) * ((1)/(1)) = underset(x -> 2 ⁻)(lim) (x + 2)/(2)

Passo 3

Agora é só aplicar o valor do limite:

underset(x -> 2^-)(lim) (x + 2)/(2) = (2 + 2)/(2) = (4)/(2) = 2

Temos então que:

underset(x -> 2)(lim) (g (x) - g (2))/(x - 2) não existe, pois underset(x -> 2 ⁺)(lim) (g (x) - g (2))/(x - 2) != underset(x -> 2 ⁻)(lim) (g (x) - g (2))/(x - 2) .

Resposta

underset(x -> 2)(lim) (g (x) - g (2))/(x - 2) não existe

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