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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.4 - Ex. 1f

Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.

underset(x -> 1)(lim) (f (x) - f (1))/(x - 1) , o n d e f (x) = {[[x + 1 s e x >= 1],[2 x s e x < 1]])

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Queremos calcular, caso exista, o seguinte limite:

underset(x -> 1)(lim) (f (x) - f (1))/(x - 1) , o n d e f (x) = {[[x + 1 s e x >= 1],[2 x s e x < 1]])

Para isso devemos ter:

underset(x -> 1^+)(lim) (f (x) - f (1))/(x - 1) = underset(x -> 1^-)(lim) (f (x) - f (1))/(x - 1) = L

Ou seja, nossos limites laterais deverão ser iguais!

Passo 2

Vamos começar calculando o limite lateral da direita:

underset(x -> 1^+)(lim) (f (x) - f (1))/(x - 1)

Temos aqui na expressão do limite que como ele quer x tendendo a 1 pela direita, vamos pegar a condição de x >= 1 de f (x) e substituir no limite:

f (x) = x + 1

f (1) = x + 1 = 1 + 1 = 2

Então:

underset(x -> 1^+)(lim) (f (x) - f (1))/(x - 1) = underset(x -> 1^+)(lim) (x + 1 - 2)/(x - 1) = underset(x -> 1^+)(lim) (x - 1)/(x - 1) = 1

Passo 3

Agora com x tendendo a 1 pela esquerda vamos pegar a condição de x < 1 de f (x) e substituir no limite:

f (x) = 2 x

f (1) = 2 x = 2 * 1 = 2

underset(x -> 1^⁻)(lim) (f (x) - f (1))/(x - 1) = underset(x -> 1^⁻)(lim) (2 x - 2)/(x - 1) = underset(x -> 1^⁻)(lim) (2 (x - 1))/(x - 1) = underset(x -> 1^⁻)(lim) 2 = 2

Passo 4

Temos então que underset(x -> 1)(lim) (f (x) - f (1))/(x - 1) não existe, pois:

underset(x -> 1^+)(lim) (f (x) - f (1))/(x - 1) != underset(x -> 1^-)(lim) (f (x) - f (1))/(x - 1) = L

Resposta

underset(x -> 1)(lim) (f (x) - f (1))/(x - 1) não existe

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Seja f x =1 x , x0 x 2 , 0 ≤ x1 2 , x = 1 2 - x , x1 Esboce o gráfico e calcule o limite indicado se existir: lim x → 2 + ⁡ f x
Seja f x =1 x , x0 x 2 , 0 ≤ x1 2 , x = 1 2 - x , x1 Esboce o gráfico e calcule o limite indicado se existir: lim x → 0 + ⁡ f x
Seja f x =1 x , x0 x 2 , 0 ≤ x1 2 , x = 1 2 - x , x1 Esboce o gráfico e calcule o limite indicado se existir: lim x → 0 - ⁡ f x
Determine limites à direita e à esquerda da função f x =a r c t g 1 x quando x → 0 .
Verifique se underset(x - 1)(lim) (1)/(x - 1) existe.